Hvad er en vektor i planen?
Når man arbejder med matematik støder man ofte på situation hvor man skal beskrive størrelser der både har en retning og en hvis talværdi, som ofte er en størrelse.
Et eksempel på dette kunne være når man sidder og ser TV-Avisens vejrudsigt. I vejrudsigten er vind oftest tegnet som en pil der peger en bestemt retning, og til pilen er der angivet en størrelse der viser vindhastigheden. I matematikken kaldes sådan en ”pil” for en vektor.
Som tidligere nævnt, er en vektor et objekt der har både en størrelse og en retning. I matematikken gør vi ligesom i vejrudsigten og vi forestiller os at en vektor er en pil, hvor pilespidsen bestemmer retningen og selve skaftet angiver længden som er størrelsen af vektoren.
Når man navngiver en vektor gøres det med et bogstav med en pil ovenpå, som fx . Når vi skal betegne vektorens størrelse/længde skriver man dens numeriske værdi
.
Vil du være helt skap til plangeometri? Så træn opgaver på Danmarks førende matematiktræner. Kom igang med det samme – gratis!
En vektor i planen består af to komponenter, den første værdi angiver hvor langt man bevæger sig ud af x-aksen og den anden værdi angiver hvor meget man bevæger sig op af x-aksen. Hvis man kalder vektoren for betegner man dens komponenter for a1 og a2 .
Vi kan give et eksempel på en vektor som vi kalder og giver den komponenterne a1 = 2 og a2 = 3 . Når man opskriver vektoren gøres det på følgende måde
I figuren fornede har vi indtegnet vektoren. Vi kan hurtigt se at den er tegnet ud fra at vi går 2 ud af x-aksen og 3 op ad y-aksen.
Beregn længden af en vektor
Vi har tidligere nævnt at vektorens længde betegnes , men hvordan beregner man den?
For at beregne længden af vektoren benytter man Pythagoras’ Theorem som vi kender fra den klassiske geometri, nemlig at
Dette kan vi gøre ved at benytte vektorens komponenter, længderne af disse er netop de to kateter i en retvinklet trekant og længden af vektoren svarer til hypotenusen i den retvinklede trekant. Hvis vi igen betragter vektoren
så er længden af vektoren givet ved
Vi kan som eksempel bestemme længden af vektoren
ved at benytte Pythagoras’
Længden af vektoren er altså 3,6 Forneden har vi konstrueret vektoren samt optegnet den retvinklede der giver anledning til hvordan det er muligt at bestemme længden.
Opret en gratis profil med Facebook og kom igang med at træne på Danmarks førende matematiktræner!
Regneregler med vektorer
Vi kan gange et tal med en vektor ved blot at gange tallet med hver af vektorens komponenter. Hvis vi fx har et tal t som vi gerne vil gange på vektoren ved at gange den på dens to komponenter a1 og a2 . Vi opskriver derfor
Hvis vi gerne vil gange tallet 4 på vores vektor fra før, nemlig
Så opskriver vi
og dermed har vi ganget et tal på en vektor.
Vi kan også lægge to vektorer sammen og trække dem fra hinanden. Hvis vi har vektorerne
Kan vi lægge dem sammen ved blot at lægge deres komponenter sammen
og vi kan trække dem fra hinanden ved at trække deres komponenter fra hinanden
Vi prøver nu at regne et eksempel. Vi betragter nu vektorerne
Vi lægger dem nu sammen
Vi kan nu se at ved at lægge de to vektorer sammen fås en ny vektor. Vi prøver nu at trække de to vektorer fra hinanden
Og vi ser at ved at trække to vektorer fra hinanden fås også en ny vektor.
Ved du hvorfor flere og flere studerende træner med os? Det er fordi de scorer topkarakter. Kom igang med det samme og se resultater!
Vektorer der udspænder et parallelogram
En vigtig ting når man arbejder med to vektorer er at de sammen udspænder et parallelogram. Hvis vi fx har to vektorer
Så udspænder de til sammen et parallelogram. Parallelogrammet er vist på figuren forneden
Vi vil senere komme ind på hvordan man kan beregne arealet af det udspændte parallelogram. Først skal vi dog kigge på det såkaldte skalarprodukt.
Skalarproduktet og prikproduktet
Vi har tidligere set hvordan man kan lægge to vektorer sammen og hvordan man kan trække dem fra hinanden. Det næste naturlige skridt ville være at gange dem sammen, man kan dog ikke gange to vektorer sammen når man arbejder i to dimensioner og dermed i planen.
I stedet definerer vi det såkaldte skalarprodukt også kaldet prikproduktet. Skalarproduktet mellem to vektorer
er givet ved
Læg mærke til at gangetegnet imellem kaldes en prik, og derfor kaldes skalarproduktet også for prikproduktet. Man prikker altså de to vektorer med hinanden. Lad os prøve at beregne et eksempel. Betragt vektorerne
vi kan bestemme skalarproduktet af de to vektorer ved at benytte formlen foroven
Læg mærke til at skalarproduktet ikke giver en ny vektor, men derimod et tal. Hvad kan vi så bruge skalarproduktet til?
Skalarproduktet er en essentiel del af vektorregning, da det kan bruges til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Ved at betragte to vektorer og
, er vinklen mellem dem, v, givet ved
Vi kan altså se at cosinus til vinklen mellem de to vektorer er givet ved skalarproduktet delt med produktet af længderne af de to vektorer. Lad os prøve at beregne et eksempel. Betragt vektorerne
For at beregne vinklen skal vi bestemme skalarproduktet af vektorerne samt længderne af de to vektorer. Vi starter med skalarproduktet. Vi kan bestemme skalarproduktet af de to vektorer ved at benytte formlen foroven
For at bestemme længderne benyttes Pythagors’ og vi opskriver derfor
Vi har nu bestemet skalarprodukt og længderne af de to vektorer. Vi indsætter nu værdierne i udtrykket for vinklen
Vi kan nu bestemme vinklen ved at tage cosinus i minus første på begge sider
Dermed har vi bestemt vinklen mellem de to vektorer ved hjælp af skalarproduktet.
Fremragende anmeldelser på Trustpilot – Træn på Danmarks førende matematiktræner allerede idag!
Projektion af vektor på vektor
Figuren forneden viser en såkaldt projektion af vektoren på vektoren
. Projektionen laves ved at tegne to vinkelrette streger fra
op til hver ende af
. Ved at foretage projektionen fås en ny vektor
der har samme retning som
. Formlen for den nye vektor
er givet ved
Det er altså skalarproduktet delt med længden af i anden gangen med der giver projektionen. Lad os prøve at beregne et eksempel. Start med at betragte vektorerne
Vi starter med at bestemme skalarproduktet. Skalarproduktet mellem de to vektorer er givet ved
Dernæst skal vi bestemme , dette gøres ved udtrykket
Vi indsætter nu de fundne værdier i udtykket for projektionen
Vi skal nu gange et tal på vektoren, dette gøres ved at gange tallet på hver komponent
Vi har dermed bestemt projektionen af vektoren på vektoren
.
Tværvektor
En anden vigtigt ting i vektoruniverset er den såkaldte tværvektor. Har man givet vektoren
Kan man bestemme tværvektoren som er givet ved
Denne definition vil vise sig at være brugelig senere hen. Lad os kigge på et eksempel. Betragt vektoren
Vi kan bestemme dens tværvektoren ved hjælp af definitionen foroven ved at bytte om på de to komponenter og sætte minus foran 2, og dermed bliver den
Bliv god til matematik med Danmarks bedste matematiktræner. Opret en bruger gratis og se markante resultater!
Determinanten
Som tidligere nævnt er en af de vigtigste egenskaber ved vektorer deres skalarprodukt, men et andet lige så vigtigt redskab er determinanten. Determinanten kan fx bestemme arealet af det parallelogram to vektorer udspænder samt bestemme om to vektorer er parallelle.
Hvis vi har to vektorer og
, er deres determinant givet ved
Det er altså tværvektoren til prikket med
. Dermed kan vi opskrive determinanten til at være
Lad os gennemregne et eksempel. Start med at betragte vektorerne
For at bestemme determinanten skal vi først bestemme tværvektoren til , den bestemmes til
Vi opskriver nu udtrykket for determinanten
Dermed er determinanten af de to vektorer 10.
Som tidligere nævnt kan determinanten benyttes til at bestemme om to vektorer er parallelle. Det gælder nemlig at to vektorer, og
, er parallelle hvis og kun hvis at
Deres determinant skal derfor være 0 for at de to vektorer er parallelle.
Determinanten kan også bruges til at bestemme arealet af det parallellogram som to vektorer udspændte. Hvis vi betragter to vektorer, og
, der sammen udspænder et areal som på figuren forneden.
Arealet af parallellogrammet er givet ved
VI skal altså bestemme den numeriske værdi af determinanten og så har vi arealet. Den numeriske værdi skal bruges da i visse tilfælde kan ske at determinanten er negativ og man kan ikke have et negativt areal. Lad os prøve at gennemregne et eksempel.
Start med at betragte vektorerne
For at bestemme determinanten skal vi først bestemme tværvektoren til , den bestemmes til
Vi opskriver nu udtrykket for determinanten
Dermed er determinanten af de to vektorer -26. Men læg nu mærke til at vores determinant er negativ. Vi skal derfor tage den numeriske værdi, dette gøres egentlig bare ved at fjerne minusset.
Dermed bliver arealet
Der er desuden en sammenhæng mellem både areal, determinant og vinkel mellem vektorerne. Denne sammenhæng er givet ved
Hvor v angiver vinklen mellem de to vektorer.
Herunder har vi samlet en række artikler, som kunne være interessante for dig 🙂
Bliv god til rumgeometri – her er alt hvad du skal vide, Læs om Julies rejse til topkarakter, hvad kan vores matematiktræner gøre for dig?
Share:
I know this if off topic but I’m looking into starting my own weblog and was wondering
what all is needed to get set up? I’m assuming having a blog
like yours would cost a pretty penny? I’m not very web savvy so
I’m not 100% positive. Any suggestions or advice would be greatly
appreciated. Cheers
I am now not positive where you are getting your info, but great topic.
I needs to spend a while learning more or understanding more.
Thanks for excellent info I was in search of this information for my mission.
Wow, this paragraph is pleasant, my sister is analyzing these kinds of things, so
I am going to let know her.
Hey there superb website! Does running a blog similar to this take a lot of work?
I’ve no understanding of coding however I was hoping to start
my own blog in the near future. Anyway, should you have any ideas or techniques for new blog owners please share.
I know this is off subject however I simply wanted to
ask. Thank you!
Do you mind if I quote a few of your posts as long as I provide credit and sources back to your webpage?
My blog is in the exact same niche as yours
and my visitors would truly benefit from a lot
of the information you provide here. Please let me know if this alright with you.
Thanks a lot!
Ahaa, its fastidious dialogue regarding this piece of writing at this place at this blog, I
have read all that, so at this time me also commenting here.
774604 298575I undoubtedly didnt comprehend that. Learnt some thing new nowadays! Thanks for that. 881199
tadalafil generic name – tadalafil coupon tadalafil online pharmacy
160377 594820I like this web site its a master peace ! Glad I detected this on google . 805999
tadalafil pills: http://tadalafilonline20.com/ tadalafil 40
what’s propecia – http://finasteridepls.com/ finasteride
generic drugs without doctor’s prescription generic pills for sale
meds online without doctor prescription: https://genericwdp.com/ usa pharmacy india
difference between propecia and proscar – http://propechl.com/ finasteride prescription
Attractive section of content. I just stumbled upon your weblog and in accession capital to assert that I acquire actually enjoyed account your
blog posts. Any way I will be subscribing to
your augment and even I achievement you access consistently fast.
п»їviagra pills viagra without a doctor prescription
when will viagra be generic
viagra discount viagra discount
viagra over the counter walmart
where to buy viagra online viagra cost
generic viagra walmart
generic viagra walmart viagra from canada
over the counter viagra
viagra 100mg price п»їviagra pills
order viagra online
547080 78307A domain name is an identification label which defines a realm of administrative autonomy, authority, or control inside the Internet. Domain names are also critica for domain hostingwebsite hosting 226590
Hi there, after reading this remarkable piece of writing i am also glad to
share my knowledge here with colleagues. ps4 games allenferguson ps4 games
Thanks very interesting blog! ps4 games allenferguson ps4 games
http://propeciafavdr.com/ – cheap finasteride
canadian online drugs
http://zithazi.com/ – buy zithromax 500mg online
erectile dysfunction
Ndqwyo – http://virviaga.com/ buy viagra ohio
https://aralenph.com/ – order aralen online
herbal ed treatment
http://zithazi.com/ – zithromax cost
best ed treatment
where to buy viagra online https://viagrapills100.com/ viagra without a doctor prescription usa
My brother recommended I might like this blog.
He was once totally right. This post actually made my day.
You cann’t believe simply how a lot time I had spent for this info!
Thank you!
buy real viagra online https://viagrapills100.com/ buy real viagra online
always i used to read smaller content that also clear their motive, and that is also happening with this article which I am reading
at this place.
Your style is unique in comparison to other folks I’ve read stuff from.
Many thanks for posting when you have the opportunity, Guess I will just
book mark this page.
viagra discount best over the counter viagra
п»їviagra pills
This page definitely has all the information and facts I needed concerning this subject
and didn’t know who to ask.
ed pills online buy ed drugs
buy ed drugs
There’s certainly a great deal to know about this topic.
I love all the points you’ve made.
buy ed drugs cheap ed pills from canada
fast ed meds online
I love looking through an article that will make men and women think.
Also, thanks for permitting me to comment!
top erection pills ed pills online
male ed pills
Uhhqyy – stromectol covid 19 Bmrfoq mompch
ed pills online cheap ed pills
buy ed drugs
order ed pills cheap ed pills from india
cheap ed pills
Dhksqt – canadian pharmacy online Edpewk duxpfu
986687 793182Some genuinely great articles on this web site , thankyou for contribution. 443228
https://gabapentinst.com/# neurontin cost generic
Szkoej – furosemide online Airtul jgzhur
https://zithromaxst.com/# zithromax 1000 mg online
https://zithromaxst.com/# zithromax tablets
Qowtqp – buy ampicillin online Yconri zwrqcw
https://gabapentinst.com/# neurontin capsules 600mg
http://hydroxychloroquinest.com/# plaquenil 200 mg canada
https://zithromaxst.com/# zithromax 250 mg pill
Tdekcp – order cialis from india Ixclcz bpdnni
A round of applause for your blog post.Thanks Again. Want more.
http://zithromaxst.com/# zithromax over the counter
Efygre – canadian pharmacy generic viagra 100mg Lgflbk duqoya
https://zithromaxproff.com/# generic zithromax 500mg india
zithromax 500 mg for sale
http://zithromaxproff.com/# zithromax without prescription
zithromax for sale us
Tjuyzp – essays 101 Gopqkv gngdji
Lctyhu – where can i get genuine viagra Yggiug rudgjb
Gnqktj – writing a conclusion Axhbwz dljbuz
order sumycin: zithromax online
buy bactrim generic
Ernxvd – finasteride 5mg price side effects Ctvtmp ukjdpa
india pharmacy drugs: india pharmacy mail order india pharmacies shipping to usa
Vyjxyb – acheter du viagra carte cadeau Rkttso nfcjoh
india pharmacy: cheap online pharmacies from india all generic meds from india
Jxnkzm – average cost of 90 tab of finasteride 5mg Gtyrwu hkwbge
buy erectile dysfunction pills online: https://edpillsonline24.com/# levitra pills
Aygtkf – significant experience college essay Jxvwsv txhrms
levitra pills: https://edpillsonline24.com/# cialis pills
male erectile pills: https://edpillsonline24.com/# male erectile pills
Having read this I believed it was very enlightening.
I appreciate you spending some time and effort to put this short article together.
I once again find myself spending way too much time both reading and posting comments.
But so what, it was still worth it! asmr 0mniartist
Dhfkfa – sildenafil walmart Qpsrds cjagwp
Wow that was strange. I just wrote an really long comment but after I clicked submit my comment didn’t appear.
Grrrr… well I’m not writing all that over again. Anyhow, just wanted to
say great blog! 0mniartist asmr
buy generic viagra online: viagra without a prescription viagra without prescription
wow, awesome blog post. Want more.
I’m not that much of a internet reader to be honest but your blogs really nice, keep it up!
I’ll go ahead and bookmark your site to come back in the
future. Many thanks 0mniartist asmr
Psthoq – writing a good thesis for a research paper Vndoge mjhdzj
I am so grateful for your blog post. Awesome.
when will viagra be generic: buy viagra online without prescription buy viagra without prescription
alprostadil https://alprostadildrugs.com/ alprostadil ingredients
Really appreciate you sharing this blog post.Really looking forward to read more. Really Great.
Jienmi – lasix furosemide Kzbfom icfrvt
Very good post.Really looking forward to read more. Really Cool.
doxycycline pills: cheap doxycycline – doxycycline hyclate 100 mg cap
It’s going to be end of mine day, but before finish I am reading this enormous post to increase my experience.
asmr 0mniartist
Obkqyq – generic vardenafil uk Yoaton qcdxhl
amoxicillin cost australia: buy amoxil – where can i buy amoxicillin without prec
canadian diet pills https://canadapillstorex.com/ canadian customs pills vitamins
free foreign dating sites free no fee
senior women for sex
What’s Happening i am new to this, I stumbled upon this I have found It positively helpful and it
has helped me out loads. I hope to contribute & aid different users like its aided me.
Good job. asmr 0mniartist
Cyoahk – silagra 50 mg online Ofcwpx uivjvv
clomiphene for sale: clomid – clomid canada
what is tadalafil https://elitadalafill.com/ buy tadalafil
Awesome blog.Much thanks again. Much obliged.
where can i get amoxicillin: amoxicillin without a doctors prescription – order amoxicillin no prescription
is erectile dysfunction a disease https://canadaerectiledysfunctionpills.com/ can erectile dysfunction be prevented
A round of applause for your blog. Keep writing.
Lwsugg – buy 20 mg tadacip Uldrub nqyntf
Wow, great article post.Thanks Again. Keep writing.
http://lasixst.com/# furosemida 40 mg
Nqrzde – buy avana 200 mg Bllvxm qfcdra