Til dig der gerne vil blive god til plangeometri – her får du alletiders guide som lærer dig alt i planen på under 5 minutter!

Hvad er en vektor i planen?

Når man arbejder med matematik støder man ofte på situation hvor man skal beskrive størrelser der både har en retning og en hvis talværdi, som ofte er en størrelse.

Et eksempel på dette kunne være når man sidder og ser TV-Avisens vejrudsigt. I vejrudsigten er vind oftest tegnet som en pil der peger en bestemt retning, og til pilen er der angivet en størrelse der viser vindhastigheden. I matematikken kaldes sådan en ”pil” for en vektor.

Som tidligere nævnt, er en vektor et objekt der har både en størrelse og en retning. I matematikken gør vi ligesom i vejrudsigten og vi forestiller os at en vektor er en pil, hvor pilespidsen bestemmer retningen og selve skaftet angiver længden som er størrelsen af vektoren.

Når man navngiver en vektor gøres det med et bogstav med en pil ovenpå, som fx . Når vi skal betegne vektorens størrelse/længde skriver man dens numeriske værdi .

Vil du være helt skap til plangeometri? Så træn opgaver på Danmarks førende matematiktræner. Kom igang med det samme – gratis!

En vektor i planen består af to komponenter, den første værdi angiver hvor langt man bevæger sig ud af x-aksen og den anden værdi angiver hvor meget man bevæger sig op af x-aksen. Hvis man kalder vektoren for  betegner man dens komponenter for a1 og a2 .

Vi kan give et eksempel på en vektor som vi kalder  og giver den komponenterne a1 = 2 og a2 = 3 . Når man opskriver vektoren gøres det på følgende måde

I figuren fornede har vi indtegnet vektoren. Vi kan hurtigt se at den er tegnet ud fra at vi går 2 ud af x-aksen og 3 op ad y-aksen.

Beregn længden af en vektor

Vi har tidligere nævnt at vektorens længde betegnes  , men hvordan beregner man den?

For at beregne længden af vektoren benytter man Pythagoras’ Theorem som vi kender fra den klassiske geometri, nemlig at

Dette kan vi gøre ved at benytte vektorens komponenter, længderne af disse er netop de to kateter i en retvinklet trekant og længden af vektoren svarer til hypotenusen i den retvinklede trekant. Hvis vi igen betragter vektoren

så er længden af vektoren givet ved

Vi kan som eksempel bestemme længden af vektoren

ved at benytte Pythagoras’

Længden af vektoren er altså 3,6 Forneden har vi konstrueret vektoren samt optegnet den retvinklede der giver anledning til hvordan det er muligt at bestemme længden.

Opret en gratis profil med Facebook og kom igang med at træne på Danmarks førende matematiktræner!

Regneregler med vektorer

Vi kan gange et tal med en vektor ved blot at gange tallet med hver af vektorens komponenter. Hvis vi fx har et tal t som vi gerne vil gange på vektoren  ved at gange den på dens to komponenter a1 og a2 . Vi opskriver derfor

Hvis vi gerne vil gange tallet 4 på vores vektor fra før, nemlig

Så opskriver vi

og dermed har vi ganget et tal på en vektor.

Vi kan også lægge to vektorer sammen og trække dem fra hinanden. Hvis vi har vektorerne

Kan vi lægge dem sammen ved blot at lægge deres komponenter sammen

og vi kan trække dem fra hinanden ved at trække deres komponenter fra hinanden

Vi prøver nu at regne et eksempel. Vi betragter nu vektorerne

Vi lægger dem nu sammen

Vi kan nu se at ved at lægge de to vektorer sammen fås en ny vektor. Vi prøver nu at trække de to vektorer fra hinanden

Og vi ser at ved at trække to vektorer fra hinanden fås også en ny vektor.

Ved du hvorfor flere og flere studerende træner med os? Det er fordi de scorer topkarakter. Kom igang med det samme og se resultater!

Vektorer der udspænder et parallelogram

En vigtig ting når man arbejder med to vektorer er at de sammen udspænder et parallelogram. Hvis vi fx har to vektorer

Så udspænder de til sammen et parallelogram. Parallelogrammet er vist på figuren forneden

Vi vil senere komme ind på hvordan man kan beregne arealet af det udspændte parallelogram. Først skal vi dog kigge på det såkaldte skalarprodukt.

Skalarproduktet og prikproduktet

Vi har tidligere set hvordan man kan lægge to vektorer sammen og hvordan man kan trække dem fra hinanden. Det næste naturlige skridt ville være at gange dem sammen, man kan dog ikke gange to vektorer sammen når man arbejder i to dimensioner og dermed i planen.

I stedet definerer vi det såkaldte skalarprodukt også kaldet prikproduktet. Skalarproduktet mellem to vektorer

er givet ved

Læg mærke til at gangetegnet imellem kaldes en prik, og derfor kaldes skalarproduktet også for prikproduktet. Man prikker altså de to vektorer med hinanden. Lad os prøve at beregne et eksempel. Betragt vektorerne

vi kan bestemme skalarproduktet af de to vektorer ved at benytte formlen foroven

Læg mærke til at skalarproduktet ikke giver en ny vektor, men derimod et tal. Hvad kan vi så bruge skalarproduktet til?

Skalarproduktet er en essentiel del af vektorregning, da det kan bruges til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Ved at betragte to vektorer  og  , er vinklen mellem dem, v, givet ved

Vi kan altså se at cosinus til vinklen mellem de to vektorer er givet ved skalarproduktet delt med produktet af længderne af de to vektorer. Lad os prøve at beregne et eksempel. Betragt vektorerne

For at beregne vinklen skal vi bestemme skalarproduktet af vektorerne samt længderne af de to vektorer. Vi starter med skalarproduktet. Vi kan bestemme skalarproduktet af de to vektorer ved at benytte formlen foroven

For at bestemme længderne benyttes Pythagors’ og vi opskriver derfor

Vi har nu bestemet skalarprodukt og længderne af de to vektorer. Vi indsætter nu værdierne i udtrykket for vinklen

Vi kan nu bestemme vinklen ved at tage cosinus i minus første på begge sider

Dermed har vi bestemt vinklen mellem de to vektorer ved hjælp af skalarproduktet.

Fremragende anmeldelser på Trustpilot – Træn på Danmarks førende matematiktræner allerede idag!

Projektion af vektor på vektor

Figuren forneden viser en såkaldt projektion af vektoren  på vektoren . Projektionen laves ved at tegne to vinkelrette streger fra  op til hver ende af . Ved at foretage projektionen fås en ny vektor  der har samme retning som . Formlen for den nye vektor er givet ved

Det er altså skalarproduktet delt med længden af  i anden gangen med  der giver projektionen. Lad os prøve at beregne et eksempel. Start med at betragte vektorerne

Vi starter med at bestemme skalarproduktet. Skalarproduktet mellem de to vektorer er givet ved

Dernæst skal vi bestemme  , dette gøres ved udtrykket

Vi indsætter nu de fundne værdier i udtykket for projektionen

Vi skal nu gange et tal på vektoren, dette gøres ved at gange tallet på hver komponent

Vi har dermed bestemt projektionen af vektoren  på vektoren .

Tværvektor

En anden vigtigt ting i vektoruniverset er den såkaldte tværvektor. Har man givet vektoren

Kan man bestemme tværvektoren som er givet ved

Denne definition vil vise sig at være brugelig senere hen. Lad os kigge på et eksempel. Betragt vektoren

Vi kan bestemme dens tværvektoren ved hjælp af definitionen foroven ved at bytte om på de to komponenter og sætte minus foran 2, og dermed bliver den

Bliv god til matematik med Danmarks bedste matematiktræner. Opret en bruger gratis og se markante resultater!

Determinanten

Som tidligere nævnt er en af de vigtigste egenskaber ved vektorer deres skalarprodukt, men et andet lige så vigtigt redskab er determinanten. Determinanten kan fx bestemme arealet af det parallelogram to vektorer udspænder samt bestemme om to vektorer er parallelle.

Hvis vi har to vektorer  og , er deres determinant givet ved

Det er altså tværvektoren til  prikket med  . Dermed kan vi opskrive determinanten til at være

Lad os gennemregne et eksempel. Start med at betragte vektorerne

For at bestemme determinanten skal vi først bestemme tværvektoren til  , den bestemmes til

Vi opskriver nu udtrykket for determinanten

Dermed er determinanten af de to vektorer 10.

Som tidligere nævnt kan determinanten benyttes til at bestemme om to vektorer er parallelle. Det gælder nemlig at to vektorer,   og  ,  er parallelle hvis og kun hvis at

Deres determinant skal derfor være 0 for at de to vektorer er parallelle.

Determinanten kan også bruges til at bestemme arealet af det parallellogram som to vektorer udspændte. Hvis vi betragter to vektorer,  og  ,  der sammen udspænder et areal som på figuren forneden.

Arealet af parallellogrammet er givet ved

VI skal altså bestemme den numeriske værdi af determinanten og så har vi arealet. Den numeriske værdi skal bruges da i visse tilfælde kan ske at determinanten er negativ og man kan ikke have et negativt areal. Lad os prøve at gennemregne et eksempel.

Start med at betragte vektorerne

For at bestemme determinanten skal vi først bestemme tværvektoren til , den bestemmes til

Vi opskriver nu udtrykket for determinanten

Dermed er determinanten af de to vektorer -26. Men læg nu mærke til at vores determinant er negativ. Vi skal derfor tage den numeriske værdi, dette gøres egentlig bare ved at fjerne minusset.

Dermed bliver arealet

Der er desuden en sammenhæng mellem både areal, determinant og vinkel mellem vektorerne. Denne sammenhæng er givet ved

Hvor v angiver vinklen mellem de to vektorer.

Herunder har vi samlet en række artikler,  som kunne være interessante for dig 🙂

Bliv god til rumgeometri – her er alt hvad du skal vide, Læs om Julies rejse til topkarakter, hvad kan vores matematiktræner gøre for dig?