Rumgeometri
Når man skal beskæftige sig med rumgeometri, skal man starte med at have styr på, hvad der menes når snakker om rummet. I rumgeometrien arbejder man i det tredimensionale rum, og for at man kan gøre dette skal vi benytte et tredimensionalt koordinatsystem.
Vi kender allerede det klassiske koordinatsystem hvor vi har en x-akse og en y-akse. For at kunne beskrive det tredimensionale rum skal vi tilføje en ekstra akse, nemlig z-aksen. Ved at benytte et koordinatsystem i rummet kan vi bestemme et punkt ved at have tre koordinater. En for x-aksen, en for y-aksen og en for z-aksen.
Det kan umiddelbart være svært rent intuitivt at forestille sig sådan et koordinatsystem, så det kan altid hjælpe at tegne det. Forneden kan du se en skitse af et tredimensionalt koordinatsystem.
Vektorer i rummet
Vi ved fra vektorer i planen, at en vektor er karakteriseret ved noget, som der har en bestemt længde og retning. I planen skal man bruge to koordinater for at beskrive en vektor. Den eneste forskel på en vektor i planen og en vektor i rummet er, at man skal nu bruge tre koordinater til at beskrive en vektor i rummet. Hvis vi fx har givet en vektor a kan den beskrives ved dens tre koordinater
Vektorens tre koordinater er altså a1, a2 og a3. Hvor den første beskrive hvor langt ud af x-aksen man skal, andenkoordinaten beskriver hvor langt ud af y-aksen man skal og tredje koordinaten bestemmer hvor langt ud af z-aksen man skal.
Vil du være god til vektorer i rummet? Træn på Danmarks førende matematiktræner og scor topkarakter. Opret en bruger gratis!
Regneregler for vektorer i rummet
Når man arbejder med vektorer i rummet, så gælder der næsten de samme regneregler. Hvis vi fx har to vektorer vektor a og vektor b
Og vi gerne vil lægge dem sammen så gælder følgende
Hvis vi vil gange et vilkårligt tal, t, på vektoren a , så gælder følgende
Vil vi gerne bestemme længden af en vektor i rummet benyttes samme formel, som når vi skal finde længden af en vektor i to dimensioner, vi skal bare huske at tilføje et ekstra led for z-aksen.
Vi kan bestemme længden af vektor a ved at opskrive
VI kan gennemregne et lille eksempel. Betragt vektoren
Vi kan nu bestemme længden af vektor a ved at benytte formlen foroven
Vi starter med at udregne udtrykket under kvadratroden
Ved at tage kvadratroden kan vi nu bestemme længden af vektor a
Regneregler og regneeksempel på skalarproduktet
Fra vektorer i planen kender vi også til skalarproduktet eller prikproduktet. I rummet er skalarproduktet mellem to vektorer vektor a og vektor b givet ved
Læg mærke til at prikproduktet af to vektorer giver et tal og ikke en vektor. Der findes et produkt mellem to vektorer der giver en ny vektor. Dette kaldes krydsproduktet, dette når vi til lidt senere. Først gennemgår vi regnereglerne for skalarproduktet i rummet.
Hvis vi gerne vil bestemme vinklen mellem to vektorer i rummet, så gælder den samme formel som med vektorer i planen. Cosinus til vinklen v mellem to vektorer vektor a og vektor b er givet ved
Man skal altså bruge skalarproduktet og længden af de to vektorer for at bestemme cosinus til vinklen. Hvis vi gerne vil bestemme projektionen af vektor a på vektor b benyttes den samme formel som for vektorer i planen. Projektionen af vektor a på vektor b på er givet ved
Lad os regne et eksempel hvor vi beregner skalarproduktet, vinklen mellem to vektorer samt projektionen af den ene på den anden. Vi får givet to vektorer
Vi starter med at beregne skalarproduktet ved at benytte formlen
Vi indsætter nu koordinaterne for vores vektorer
Dermed bliver skalarproduktet mellem det to vektorer 20.
Bestem vinklen mellem to vektorer i rummet
Vi kan nu bestemme vinklen mellem de to vektorer. For at bestemme vinklen benytter vi formlen
Vi kan se at i tælleren skal vi indsætte skalarproduktet, dette har vi allerede fundet til at være 20. I nævneren skal vi gange længden af de to vektorer med hinanden. Vi skal derfor bestemme længden af de to vektorer. Vi bestemme længden ved at benytte formlen
Vi indsætter nu værdierne for vores to vektorer
Vi har nu bestemt længderne af de to vektorer. Nu kan vi indsætte værdien af skalarproduktet samt længderne i udtrykket for vinklen mellem to vektorer
Ved at udregne højresiden af lighedstegnet fås
Vi kan nu bestemme vinklen ved at tage cosinus i minus første på begge sider
Og vinklen bestemmes nu til at være
Få bedre karakter og lær at forstå matematik. Gør som andre studerende og træn opgaver på Danmarks førende matematik app. Opret dig lynhurtigt via Facebook nu!
Projektion af vektor i rummet
Vi kan nu til sidst bestemme bestemme projektionen af vektor a på vektor b ved at benytte formlen
Vi kender allerede skalarproduktet, som vi har bestemt til at være 20, og vi har også bestemt længden af til at være 7,07. Disse indsættes nu i formlen foroven
Vi udregner nu brøken
Vi skal nu gange tallet 0,4 på vektoren b . Dette gøres ved at gange 0,4 på hver enkelt koordinat for vektor b . Vi opskriver derfor
Ved at gange 0,4 på hvert koordinat fås projektionen til at være
Krydsprodukt
Tidligere nævnte vi, at der kan dannes et produkt af to vektorer i rummet der er en ny vektor. Denne vektor kaldes krydsproduktet mellem to vektorer. Krydsproduktet mellem to vektorer vektor a og vektor b i rummet skrives som vektor a x vektor b .
Definitionen på krydsproduktet kan være svær at huske og derfor vil det ofte være lettest at benytte et digitalt værktøj som fx TI-Nspire til at bestemme det, men inden vi gør dette gennemgår vi definitionen på det. Krydsproduktet mellem to vektorer
er som sagt givet ved
Når man skal bestemme krydsproduktet bestemme man vektoren der er givet ved
Som man kan se på udtrykket for den vektor som krydsproduktet giver, så gælder det at holde tungen lige i munden. Hvis vi igen betragter de to vektorer fra før
.
Vi kan bestemme krydsproduktet mellem de to vektorer ved at benytte formlen
Vi indsætter nu koordinaterne for vores vektorer
Ved udregning fås nu den krydsproduktet til at være
Som man kan se i udregningen gælder det om at holde tungen lige i munden. Krydsproduktet kan benyttes til mange ting. Vi kan fx benytte krydsproduktet til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Sinus til vinklen v mellem de to vektorer vektor a og vektor b er givet ved udtrykket
Få højere karakter i matematik. Træn gamle eksamensopgaver og bliv helt klar! Vi er Danmarks førende. Opret en bruger gratis og kom igang med det samme!
Beregn arealet af et parallelogram i rummet
Hvis man har to vektorer i rummet, fx vektor a og vektor b, så udspænder de tilsammen et parallelogram ligesom vektorer i planen gør. Vi kan bestemme arealet af det parallelogram ved at benytte krydsproduktet. Arealet af givet ved størrelsen af krydsproduktet, vi kan derfor opskrive en formel for arealet
Lad os prøve at bestemme vinklen mellem
. 
Og dernæst beregnet arealet af parallelogram de udspænder. Vi kan som sagt bestemme vinklen mellem to vektorer ved at benytte udtrykket
Vi har allerede bestemt krydsproduktet, det bestemte vi til at være
Vi skal nu bestemme størrelsen af krydsproduktet, til at gøre dette benyttes formlen for størrelsen af en vektor
Vi indsætter nu koordinaterne for krydsproduktet i formlen foroven
Ved udregning fås størrelsen af krydsproduktet til at være
Vi skal nu bestemme længden af de to vektorer. Vi indsætter derfor koordinaterne for de to vektorer i formlen for størrelsen af en vektor
Vi kan nu bestemme vinklen mellem de to vektorer ved at indsætte vores værdier i udtrykket for vinklen
Ved indsættelse fås
Ved udregning af højresiden af lighedstegnet fås
Vi kan nu bestemme vinklen ved at tage sinus i minus første på begge sider af lighedstegnet
Ved udregning får vi nu vinklen mellem vektor a og vektor b til at være
Vi bestemmer nu arealet af det parallelogram som vektor a og vektor b udspænder ved at benytte udtrykket
.
Ved indsættelse fås
Dermed er arealet af parallelogrammet 48,99.
Bliv bedre til matematik og lad os hjælpe dig. Opret en bruger via Facebook og se markante resultater.
Eksempler på udregning af krydsprodukt i Ti-Nspire
Som nævnt tidligere gælder det om at holde tungen lige i munden når man regner med krydsproduktet i hånden, vi kan heldigvis benytte et digitalt værktøj til at hjælpe os med at beregne det. Til at gøre dette benytter vi et TI-Nspire.
Vi vil nu gennemgå de samme udregninger for krydsproduktet som foroven i TI-Nspire. Start derfor med at åbne et ny dokument i TI-Nspire og vælg ”Tilføj beregninger”.
Dernæst skal vi have defineret vores to vektorer vektor a og vektor b i Nspire. Dette gøres ved at skrive: ”a:=[2,6,-4]” og ”b:=[3,5,4]”
Vi har nu defineret vores to vektorer i Nspire. Vi kan bestemme krydsproduktet ved at bruge kommandoen ”crossP()”. For at bestemme krydsproduktet mellem de to definerede vektorer skriver vi i Nspire ”crossP(a,b)”
Vi har nu bestemt krydsproduktet. VI kan nu bestemme vinklen mellem de to vektorer ved at benytte udtrykket
For at gøre det lettere for os selv i længden, definerer vi krydsproduktet som en ny vektor c. I Nspire skriver vi ”c:=crossP(a,b)”.
For at bestemme vinklen skal vi bruge størrelsen af de forskellige vektorer. I Nspire benytter man kommandoen ”norm()” til at bestemme længden af en vektor. Vi kan derfor bestemme sinus til vinklen ved at skrive ”norm(c)/(norm(a)*norm(b))”
Vi kan nu bestemme vinklen ved at tage sinus i minus første til 0,92582. I Nspire skriver vi ”arcsin(0.92582)”
Dermed har vi bestemt vinklen til at være . Det er en lille afvigelse fra vi tidligere fik, men dette skyldes afrunding. Nu vil gerne bestemme arealet af det parallelogram de to vektorer udspænder. VI husker at arealet er givet ved
Vi skal derfor blot bestemme længden af vektoren c som vi har defineret som krydsproduktet i Nspire. I Nspire skriver vi derfor blot ”norm(c)”
Dermed har vi bestemt arealet til at være 48,9898. Hvilket igen afviger en lille smule fra det forrige resultat, men dette skyldes igen afrunding.
Alt hvad du skal vide om vektorer del 1, Vektorregning forklaret så du forstår det del 2
