Alt hvad du skal vide om vektorer til din matematik eksamen (del 1 af 2)

I denne artikel ser vi nærmere på emnet vektorer. Efter du har læst denne artikel vil du have et grundlæggende bekendtskab til vektorer og besidde de nødvendige matematiske værktøjer, der gør det muligt for dig at løse opgaver med vektorer.

Jeg vil love dig for, at jeg vil prøve at forklare emnet på en meget simpel og letforståelig måde. Jeg kan selv huske, hvor svært jeg havde ved at forstå og regne med vektorer.

Vektorer er et relativt svært emne, som du kommer ud for når du skal til eksamen på matematik A- niveau og B-niveau. Grunden til vi har valgt at fokusere på netop dette emne er, at vi kan se på vores matematiktræner, at det generelt er det emne de studerende har svært ved.

Jeg vil starte med at give dig en introduktion til hvad en vektor er, derefter vil jeg vise dig hvordan du regner med vektorer sammen med nogle eksempler, så det gradvist øger din forståelse. Det er en kunst at mestre vektorregning, og jeg er sikker på jeg nok skal få lært dig det. Lad os hellere komme i gang 🙂
 
 

Vil du være god til vektorer? Træn opgaver idag og scor topkarakter. Opret en bruger nu og gør som andre studerende!
Opret bruger nu

 

Hvad er en vektor egentlig?

En vektor er et geometrisk objekt. Et geometrisk objekt der har en størrelse og en retning. Dette lyder måske temmelig underligt i dine øre, men man kan forestille sig en pil.

En pil har en bestemt størrelse/længde og den peger i en bestemt retning. Faktisk bliver vektorer næsten altid repræsenteret som pile i vores matematikbøger.

Vi vil starte med at arbejde med vektorer i planen, også kaldet vektorer i to dimensioner, men vektorer findes også i tre dimensioner, ja sågar også i fire dimensioner. Det kan måske stadigvæk lyde lidt mærkeligt, så lad os gå lidt mere i dybden.

I figuren foroven kan du se en rød pil der er indtegnet i et koordinatsystem. Den røde pil er en vektor, nemlig vektoren .

Som du kan se på figuren så betegner man en vektor med et bogstav der har en pil ovenpå. På den måde ved man at, man har med en vektor at gøre.

Tidligere blev det nævnt at en vektor har både en størrelse/længde og en retning. Dette kan man jo sagtens se ved at kigge på vektoren i figuren foroven, men hvordan hænger det hele sammen? For at kunne beskrive en vektor skal man kende dens koordinatsæt.

Vektorer i to dimensioner, ligesom den røde foroven har to koordinater og tilsammen er de vektorens koordinatsæt. Vektorens koordinater skrives i en søjle, hvor vektorens førstekoordinat skrives øverst og dens andenkoordinat skrives nederst.

Hvis vi for eksempel har vektoren  der har første- og andenkoordinaterne a1 og a2 skrives den på følgende måde

Men hvad er første- og andenkoordinaten egentlig?

Førstekoordinaten beskriver hvor langt vektoren bevæger sig ud af x-aksen og andenkoordinaten beskriver hvor langt den går op ad y-aksen.

Hvis vi kigger på den røde vektor  i figuren forneden så kan vi se at den starter ved 1 går helt op til 5 på x-aksen, og på y-aksen starten den ved 1 og slutter også ved 5.

Vektoren bevæger sig altså 4 henad x-aksen og 4 opad y-aksen. Derfor kan vi opskrive vektoren og dens koordinatsæt

Lad os kigge på et andet eksempel. Hvis man har vektoren  der har koordinatsættet


Så kan vi se ved at kigge på koordinatsættet at vektoren bevæger 2 henad x-aksen og 5 opad y-aksen.

Hvis vi indtegner vektoren i et koordinatsystem ser den ud som på figuren forneden

Læg mærke til at der på figuren er to indtegnet to vektorer der begge to er vektoren , dette betyder at en vektorens placering i koordinatsystemet ikke har nogen betydning. Den røde og den blå vektor er helt ens.
 
Længden af en vektor

Nu har du lært det basale omkring en vektor, men hvad kan vi så bruge det til?

Vi vil starte med at bestemme længden af en vektor. For at forstå, hvordan du regner længden af en vektor prøver vi med et eksempel. Vi betragter vektoren

Det betyder jo, som du lærte tidligere, at du skal gå 6 ud af x-aksen og 6 opad af y-aksen. Vi indtegner vektoren i et koordinatsystem.


 
Men hvordan kan vi nu bestemme længden af vektoren?

Lad os indtegne den afstand vektoren strækker sig henad -aksen og den afstand den strækker sig opad -aksen

Hvis du nu betragter figuren foroven kan du se at vi egentlig har en retvinklet trekant, hvor selve vektoren er hypotenusen og den vandrette og den lodrette side er de to kateter.

Nu kan man så spørge sig selv om man kender en metode til at bestemme siderne i en retvinklet trekant? Og selvfølgelig gør man det, man kender jo Pythagoras’ læresætning

Hvor  og  angiver trekantens kateter og  angiver hypotenusen. I vores trekant er længderne af de to kateter lig vektorens koordinaterne, nemlig 6 og 6.  Vi kan altså bestemme længden af vektoren ved at opskrive ligningen

Vi udregner venstre siden af lighedstegnet og dermed får vi

Vi kan nu bestemme længden af vektoren ved at tage kvadratroden på begge sider

Vi har nu vist ved hjælp af simpel geometri hvordan man kan bestemme længden af en vektor.

En simpel huskeregel er tage det øverste tal i anden + det nederste tal i anden på vektoren og tage kvadratroden af det. Så finder du længden af vektoren.

Nu skulle du gerne kunne være i stand til at finde længden af en vektor 🙂
 
 

Få en højere karakter i matematik. Træn opgaver gratis på Danmarks førende matematiktræner. Opret dig lynhurtigt via Facebook 

Opret med Facebook
 
 

Ortogonale vektorer

Vi bevæger os nu videre og kigger på et begreb man ofte støder på i vektorregningen, nemlig ortogonalitet. For hvad betyder det egentlig at to vektorer er ortogonale?

Når to vektorer er ortogonale står de vinkelret på hinanden, der er altså en vinkel på 90 mellem de to vektorer. Figuren forneden viser de to vektorer og  der er ortogonale.

Hvis man får oplyst to vektorer, kan man bestemme om de er ortogonale ved at benytte prikproduktet mellem de to vektorer. Hvis to prikproduktet mellem to vektorer er 0, så er de to vektorer ortogonale.

Prikproduktet bliver også kaldt for skalarproduktet. Men hvordan er det lige vi bestemmer prikproduktet?

Hvis vi har to vektorer

Så er prikproduktet givet ved

Lad os nu prøve at undersøge om følgende to vektorer er ortogonale

Hvis disse to vektorer er ortogonale, så er deres prikprodukt lig 0. Vi udregner derfor prikproduktet

Prikproduktet mellem de to vektorer er lig 0 og dermed er de to vektorer ortogonale og dermed står de vinkelret på hinanden.
 
Parallelle vektorer

Hvis to vektorer er parallelle, så er deres determinant lig 0. Men hvad determinanten egentlig?

Hvis man har to vektorer  og

Så er determinanten givet ved

Det kan umiddelbart se lidt bøvlet ud, men når man først for regnet et eksempel, så kommer det hurtigt. Lad os undersøge om de to følgende vektorer

er parallelle.

Vi bestemmer nu determinanten imellem de to vektorer

Determinanten giver i dette tilfælde ikke 0, så dermed er de to vektorer IKKE parallelle med hinanden. Det er vigtigt at nævne at parallelle vektorer både kan være ensrettede eller modsatrettede. Dette betyder at deres pile peger i modsat retning.

 
Tværvektor

Man kan danne en tværvektor ud fra en vektor. En tværvektor har præcis samme længde, som den oprindelige vektor og den eneste ændring er, at vektoren er drejet 90 grader mod urets retning. Herunder ser du et eksempel på en vektor  og dens tilhørende tværvektor.

Tværvektoren betegnes med dette symbol ^ over selve vektoren, dette kaldes også hat.

Du kan finde tværvektorens koordinater ved at bytte om på den oprindelige vektors koordinater, og samtidigt sætte et minus foran den ”nye” førstekoordinat. Hvis vi har vektoren

Bliver dens tilhørende tværvektor

Lad os prøve at bestemme tværvektoren til vektoren  der er givet ved

For at finde tværvektoren til , så bytter vi på første- og andenkoordinatet og husker at sætte minus foran den ”nye” førstekoordinat. Tværvektoren til  er derfor

Her gælder at længden er den samme. Vektor  er vinkelret på tværvektoren. Vinklen fra vektor  til tværvektoren er 90 grader.

Artilken fortsættes – læs del 2/2 ved at trykke her.

Lær at forstå differentialregning, Gennemgang af eksponentiel funktion opgave på a niveau

Google+

Share:

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *