fbpx

Alt hvad du skal vide om vektorer til din matematik eksamen (del 1 af 2)

I denne artikel ser vi nærmere på emnet vektorer. Efter du har læst denne artikel vil du have et grundlæggende bekendtskab til vektorer og besidde de nødvendige matematiske værktøjer, der gør det muligt for dig at løse opgaver med vektorer.

Jeg vil love dig for, at jeg vil prøve at forklare emnet på en meget simpel og letforståelig måde. Jeg kan selv huske, hvor svært jeg havde ved at forstå og regne med vektorer.

Vektorer er et relativt svært emne, som du kommer ud for når du skal til eksamen på matematik A- niveau og B-niveau. Grunden til vi har valgt at fokusere på netop dette emne er, at vi kan se på vores matematiktræner, at det generelt er det emne de studerende har svært ved.

Jeg vil starte med at give dig en introduktion til hvad en vektor er, derefter vil jeg vise dig hvordan du regner med vektorer sammen med nogle eksempler, så det gradvist øger din forståelse. Det er en kunst at mestre vektorregning, og jeg er sikker på jeg nok skal få lært dig det. Lad os hellere komme i gang 🙂

Vil du være god til vektorer? Træn opgaver idag og scor topkarakter. Opret en bruger nu og gør som andre studerende!
Opret bruger nu

 

Hvad er en vektor egentlig?

En vektor er et geometrisk objekt. Et geometrisk objekt der har en størrelse og en retning. Dette lyder måske temmelig underligt i dine øre, men man kan forestille sig en pil.

En pil har en bestemt størrelse/længde og den peger i en bestemt retning. Faktisk bliver vektorer næsten altid repræsenteret som pile i vores matematikbøger.

Vi vil starte med at arbejde med vektorer i planen, også kaldet vektorer i to dimensioner, men vektorer findes også i tre dimensioner, ja sågar også i fire dimensioner. Det kan måske stadigvæk lyde lidt mærkeligt, så lad os gå lidt mere i dybden.

I figuren foroven kan du se en rød pil der er indtegnet i et koordinatsystem. Den røde pil er en vektor, nemlig vektoren .

Som du kan se på figuren så betegner man en vektor med et bogstav der har en pil ovenpå. På den måde ved man at, man har med en vektor at gøre.

Tidligere blev det nævnt at en vektor har både en størrelse/længde og en retning. Dette kan man jo sagtens se ved at kigge på vektoren i figuren foroven, men hvordan hænger det hele sammen? For at kunne beskrive en vektor skal man kende dens koordinatsæt.

Vektorer i to dimensioner, ligesom den røde foroven har to koordinater og tilsammen er de vektorens koordinatsæt. Vektorens koordinater skrives i en søjle, hvor vektorens førstekoordinat skrives øverst og dens andenkoordinat skrives nederst.

Hvis vi for eksempel har vektoren  der har første- og andenkoordinaterne a1 og a2 skrives den på følgende måde

Men hvad er første- og andenkoordinaten egentlig?

Førstekoordinaten beskriver hvor langt vektoren bevæger sig ud af x-aksen og andenkoordinaten beskriver hvor langt den går op ad y-aksen.

Hvis vi kigger på den røde vektor  i figuren forneden så kan vi se at den starter ved 1 går helt op til 5 på x-aksen, og på y-aksen starten den ved 1 og slutter også ved 5.

Vektoren bevæger sig altså 4 henad x-aksen og 4 opad y-aksen. Derfor kan vi opskrive vektoren og dens koordinatsæt

Lad os kigge på et andet eksempel. Hvis man har vektoren  der har koordinatsættet


Så kan vi se ved at kigge på koordinatsættet at vektoren bevæger 2 henad x-aksen og 5 opad y-aksen.

Hvis vi indtegner vektoren i et koordinatsystem ser den ud som på figuren forneden

Læg mærke til at der på figuren er to indtegnet to vektorer der begge to er vektoren , dette betyder at en vektorens placering i koordinatsystemet ikke har nogen betydning. Den røde og den blå vektor er helt ens.

Længden af en vektor

Nu har du lært det basale omkring en vektor, men hvad kan vi så bruge det til?

Vi vil starte med at bestemme længden af en vektor. For at forstå, hvordan du regner længden af en vektor prøver vi med et eksempel. Vi betragter vektoren

Det betyder jo, som du lærte tidligere, at du skal gå 6 ud af x-aksen og 6 opad af y-aksen. Vi indtegner vektoren i et koordinatsystem.

Men hvordan kan vi nu bestemme længden af vektoren?

Lad os indtegne den afstand vektoren strækker sig henad -aksen og den afstand den strækker sig opad -aksen

Hvis du nu betragter figuren foroven kan du se at vi egentlig har en retvinklet trekant, hvor selve vektoren er hypotenusen og den vandrette og den lodrette side er de to kateter.

Nu kan man så spørge sig selv om man kender en metode til at bestemme siderne i en retvinklet trekant? Og selvfølgelig gør man det, man kender jo Pythagoras’ læresætning

Hvor  og  angiver trekantens kateter og  angiver hypotenusen. I vores trekant er længderne af de to kateter lig vektorens koordinaterne, nemlig 6 og 6.  Vi kan altså bestemme længden af vektoren ved at opskrive ligningen

Vi udregner venstre siden af lighedstegnet og dermed får vi

Vi kan nu bestemme længden af vektoren ved at tage kvadratroden på begge sider

Vi har nu vist ved hjælp af simpel geometri hvordan man kan bestemme længden af en vektor.

En simpel huskeregel er tage det øverste tal i anden + det nederste tal i anden på vektoren og tage kvadratroden af det. Så finder du længden af vektoren.

Nu skulle du gerne kunne være i stand til at finde længden af en vektor 🙂

Få en højere karakter i matematik. Træn opgaver gratis på Danmarks førende matematiktræner. Opret dig lynhurtigt via Facebook 

Opret med Facebook

Ortogonale vektorer

Vi bevæger os nu videre og kigger på et begreb man ofte støder på i vektorregningen, nemlig ortogonalitet. For hvad betyder det egentlig at to vektorer er ortogonale?

Når to vektorer er ortogonale står de vinkelret på hinanden, der er altså en vinkel på 90 mellem de to vektorer. Figuren forneden viser de to vektorer og  der er ortogonale.

Hvis man får oplyst to vektorer, kan man bestemme om de er ortogonale ved at benytte prikproduktet mellem de to vektorer. Hvis to prikproduktet mellem to vektorer er 0, så er de to vektorer ortogonale.

Prikproduktet bliver også kaldt for skalarproduktet. Men hvordan er det lige vi bestemmer prikproduktet?

Hvis vi har to vektorer

Så er prikproduktet givet ved

Lad os nu prøve at undersøge om følgende to vektorer er ortogonale

Hvis disse to vektorer er ortogonale, så er deres prikprodukt lig 0. Vi udregner derfor prikproduktet

Prikproduktet mellem de to vektorer er lig 0 og dermed er de to vektorer ortogonale og dermed står de vinkelret på hinanden.

Parallelle vektorer

Hvis to vektorer er parallelle, så er deres determinant lig 0. Men hvad determinanten egentlig?

Hvis man har to vektorer  og

Så er determinanten givet ved

Det kan umiddelbart se lidt bøvlet ud, men når man først for regnet et eksempel, så kommer det hurtigt. Lad os undersøge om de to følgende vektorer

er parallelle.

Vi bestemmer nu determinanten imellem de to vektorer

Determinanten giver i dette tilfælde ikke 0, så dermed er de to vektorer IKKE parallelle med hinanden. Det er vigtigt at nævne at parallelle vektorer både kan være ensrettede eller modsatrettede. Dette betyder at deres pile peger i modsat retning.

Tværvektor

Man kan danne en tværvektor ud fra en vektor. En tværvektor har præcis samme længde, som den oprindelige vektor og den eneste ændring er, at vektoren er drejet 90 grader mod urets retning. Herunder ser du et eksempel på en vektor  og dens tilhørende tværvektor.

Tværvektoren betegnes med dette symbol ^ over selve vektoren, dette kaldes også hat.

Du kan finde tværvektorens koordinater ved at bytte om på den oprindelige vektors koordinater, og samtidigt sætte et minus foran den ”nye” førstekoordinat. Hvis vi har vektoren

Bliver dens tilhørende tværvektor

Lad os prøve at bestemme tværvektoren til vektoren  der er givet ved

For at finde tværvektoren til , så bytter vi på første- og andenkoordinatet og husker at sætte minus foran den ”nye” førstekoordinat. Tværvektoren til  er derfor

Her gælder at længden er den samme. Vektor  er vinkelret på tværvektoren. Vinklen fra vektor  til tværvektoren er 90 grader.

Artilken fortsættes – læs del 2/2 ved at trykke her.

Lær at forstå differentialregning, Gennemgang af eksponentiel funktion opgave på a niveau

Share:

81 thoughts on “Alt hvad du skal vide om vektorer til din matematik eksamen (del 1 af 2)

  1. I’ve been absent for a while, but now I remember why I used to love this web site. Thanks , I will try and check back more often. How frequently you update your website?

  2. I’m impressed, I must say. Seldom do I come across a
    blog that’s both equally educative and entertaining,
    and let me tell you, you have hit the nail on the head.
    The problem is something which too few men and women are
    speaking intelligently about. I am very happy I came across this
    during my search for something regarding this.

  3. Hi there mates, how is the whole thing, and what you wish for to say on the topic of this paragraph, in my
    view its genuinely amazing for me.

  4. Hello to all, how is the whole thing, I think every one is getting more from this web site, and
    your views are fastidious for new users.

  5. Hi! Quick question that’s completely off topic. Do
    you know how to make your site mobile friendly? My website looks weird when browsing from my iphone 4.
    I’m trying to find a theme or plugin that might be able to correct this problem.
    If you have any recommendations, please share.
    With thanks!

  6. of course like your website however you need to take a look at the spelling on several of your posts.
    Many of them are rife with spelling issues and I to find it very bothersome to inform the reality however I’ll definitely come back again.

  7. Link exchange is nothing else however it is simply placing the other person’s
    blog link on your page at appropriate place and other person will also do same for you.

  8. Sweet blog! I found it while surfing around on Yahoo News.

    Do you have any tips on how to get listed in Yahoo News?
    I’ve been trying for a while but I never seem to get there!

    Appreciate it

  9. Oh my goodness! Impressive article dude! Thank you, However I am experiencing issues with your RSS.
    I don’t understand the reason why I can’t join it.
    Is there anybody else having identical RSS issues?

    Anyone who knows the solution can you kindly respond? Thanks!!

  10. Hi there! Do you know if they make any plugins to assist with Search Engine Optimization? I’m trying
    to get my blog to rank for some targeted keywords but I’m not
    seeing very good results. If you know of any please share.
    Cheers!

  11. certainly like your website but you have to check the
    spelling on several of your posts. Many of them are rife with spelling
    issues and I find it very troublesome to tell the reality on the other hand I will certainly come back again.

  12. Thank you for the auspicious writeup. It actually was a amusement account it.
    Glance complicated to more delivered agreeable from you!
    By the way, how could we keep up a correspondence?

  13. Hey There. I found your blog the usage of msn. That is an extremely
    smartly written article. I’ll make sure to bookmark it and come back to learn extra
    of your useful information. Thank you for the post.
    I’ll definitely return.

  14. That is very fascinating, You are an overly professional blogger.
    I have joined your feed and stay up for in the hunt for more of your wonderful post.
    Additionally, I have shared your site in my social networks

  15. I do not know whether it’s just me or if perhaps everybody else experiencing issues
    with your site. It appears like some of the text in your
    content are running off the screen. Can somebody else please comment and
    let me know if this is happening to them as well? This may be a issue with my internet browser because I’ve had this happen previously.

    Thank you quest bars http://bitly.com/3C2tkMR quest bars

  16. Definitely believe that which you said. Your favorite reason seemed to
    be on the internet the easiest thing to be aware of.
    I say to you, I certainly get irked while people consider
    worries that they plainly don’t know about. You managed to hit the nail upon the top and defined out
    the whole thing without having side-effects , people could take a signal.
    Will likely be back to get more. Thanks scoliosis surgery https://0401mm.tumblr.com/ scoliosis surgery

  17. Hello! This post couldn’t be written any better! Reading this post reminds me
    of my good old room mate! He always kept talking about this.
    I will forward this article to him. Pretty sure he will have a good read.

    Thank you for sharing! cheap flights http://1704milesapart.tumblr.com/ cheap flights

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.