Denne artikel er del 2 i serien om, alt du skal vide om vektorregning til din matematik eksamen. Jeg kan selv huske, hvor svært emnet vektorer var, da jeg gik i gymnasiet. Derfor har jeg forsøgt at forklare dig vektorregning, så simpelt som overhovedet muligt.
I den forrige artikel lærte vi om det grundlæggende ved vektorer, og i denne artikel er fokus på at regne med vektorer 🙂
Prikprodukt og skalarprodukt
Først og fremmest er det vigtigt at fortælle at prikprodukt og skalarprodukt er det samme. Det er ikke muligt at gange to vektorer med hinanden, men i stedet tager man skalarproduktet af vektorerne. Har man givet to vektorer
kan man bestemme skalarproduktet mellem de to vektorer ved at benytte udtrykket
Lad os prøve at gennemregne et eksempel. Vi betragter de to vektorer
Vi benytter nu udtrykket for skalarproduktet til at bestemme skalarproduktet mellem de to vektorer
Skalarproduktet mellem de to vektorer er dermed 24. Hvis skalarproduktet mellem de to vektorer havde været 0, så havde de to vektorer været vinkelrette, eller med andre ord ortogonale.
Det var da heller ikke så svært vel? 🙂
Scor topkarakter i matematik med Danmarks førende matematiktræner. Kom igang helt gratis. Opret en bruger lynhurtigt!
Vinklen mellem to vektorer
Hvis man skal bestemme vinklen mellem to vektorer, 
og ved at benytte udtrykket
Selve udtrykket kan godt se lidt voldsomt ud, så lad os gennem gå det trin for trin. Hvis vi starter med at kigge på tælleren. Vi kan se at et blot er skalarproduktet mellem de to vektorer, som vi i forrige afsnit har gennemgået hvordan man udregner. I nævneren står der 
,hvilket betyder længden af den ene vektor ganget med længden af den anden vektor. Lad os nu prøve at kigge på et eksempel. Vi betragter de to vektorer
Vi vil nu bestemme vinklen mellem de to vektorer ved at benytte udtrykket
Vi starter med at bestemme skalarproduktet mellem de to vektorer
Skalarproduktet er altså . Lad os nu bestemme længden af de to vektorer. Vi husker at for at bestemme længden af vektor benytter man Pythagoras’ sætning. Hvis vi vil bestemme længden af vektoren 
benytter vi udtrykket
Lad os nu bestemme længden af vektoren
Vi indsætter første- og andenkoordinatet i udtrykket for længden
Vi bestemmer nu på samme måde længden af vektoren
Vi indsætter i udtrykket for vektorens længde
Vi har nu alle størrelser der skal indsættes i udtrykket
Vi indsætter nu skalarproduktet samt de to længder
Vi kan nu bestemme vinklen imellem de to vektorer ved at tage cosinus i minus første på begge sider af lighedstegnet
Vinklen imellem de to vektorer er altså 119,7 grader.
Nu er du altså i stand til at regne vinklen mellem to vektorer 🙂
Gør som flere og flere studerende. Tilmeld dig via Facebook gratis og hæv din karakter merkant!
Projektion af vektor på vektor
Hvis man har to vektorer, så kan man projicere den ene vektor ned på den anden. Dette kan du set på figuren forneden hvor vi har projiceret vektoren 
ned på vektoren 
.
Men hvordan kan beregne projektionsvektorens, 
, koordinater? Dette kan du gøre ved at benytte formlen
Formlen foroven kan godt se ret kompliceret ud, så lad os skærer den i små stykker. Vi starter med at kigge på tælleren 
. Vi kan se at det blot er skalarproduktet mellem de to vektorer. Nævneren 
er længden af vektoren i anden. Når man har udregnet brøken ganger man så det fundne tal med vektoren .
Lad os prøve at gennemgå et eksempel. Vi ønsker at projektere vektoren på vektoren . De to vektorer er givet ved
Vi benytter nu formlen
til at bestemme projektionen af 
. Vi starter med at udregne skalarproduktet mellem de to vektorer.
Vi husker at skalarproduktet er givet ved
Vi indsætter dernæst koordinatsættene for vores to vektorer.
VI har nu bestemt skalarproduktet. Vi skal nu bestemme længden af vektoren . Vi husker at længden af en vektor er givet ved
Vi indsætter nu koordinatsættet for vektoren
Da vi skulle finde længden i anden kan vi blot fjerne kvadratroden
Vi indsætter nu skalarproduktet og længden i udtrykket for den projekterede vektor
Vi kan nu se at vi skal gange 2 på vektoren
Dermed bliver den fundne vektor
Vi har nu fundet koordinaterne for vores projektionsvektor. Så nu skulle du også gerne være i stand til at kunne projektere en vektor på en vektor.
Jeg håber jeg har kunne skabe klarhed over et svært emne. Skriv endelig en kommentar, hvis der er noget du er i tvivl om eller noget vi kan hjælpe dig med.
Skulle du have lyst til at læse andre artikler, så har jeg herunder samlet nogle rigtig gode:-)
Lær at beregne indekstal nemt og enkelt, Behøver du lektiehjælp i gymnasiet? Hæv din matematik karakter lynhurtigt
Den sidste udregning i din vektor gennemgang foretager du ved at gange 2 med både tæller og nævner – det korrekte må vel være kun at gange tæller med 2, så det i stedet giver 6/4 og ikke 3/4.
Mvh Lars