Differentialregning beviser – gennemgang af beviser du skal kunne til den mundtlige eksamen

Differentialregning – Beviser

Det er de færreste elever der synes at beviser er den lette del indenfor matematikken. Beviserne er dog en essentiel del af undervisningen, og uden beviserne ville matematikken ikke eksistere. Beviserne benyttes nemlig til at retfærdiggøre de forskellige regneregler og matematiske værktøjer du lærer i matematikken.

Differentialregning er en yderst vigtig del af matematikken og dens beviser ligeså. I dette indlæg vil vi gennemgå forskellige beviser indenfor differentialregningen. Du har sikkert stødt på at hvis man differentierer funktionen f(x) = x²  så får man dens afledte funktion f'(x) = 2x, men hvorfor gør man netop det?

Men før vi går i gang med beviserne skal vi have styr på nogle begreber.

Er du presset med matematik? Så prøv Danmarks førende matematiktræner og se markante resultater idag!

Differenskvotient og differentialkvotient

Hvis man har en funktion og man differentierer den, finder man en funktion der kan give os tangenthældninger til funktionen. Hvis vi starter med at betragte funktionen f(x) = x². Differentierer vi funktionen fås f'(x) = 2x.

Man kan betragte funktionen f'(x) som en ”tangenthældnings-funktion”. Hvis vi smider
x = 2 ind i funktionen fås f'(2) = 2 ⋅ 2 = 4.

Dette betyder at den oprindelige funktion f(x) = x² har en tangent med hældningen 4 ved x = 2. Vi har altså slået fast at når man differentierer en funktion, så finder man hældningen til et bestemt punkt. Men hvordan finder man frem til dette?

Vi starter med at kigge på figuren forneden. På figuren ses funktionen f. På funktionen er der indtegnet to punkter, P og Q. Punktet P har koordinatsættet (x₀, f(x₀)) og punktet Q har koordinatsættet (x₀ + h, f(x₀+h)).

På figuren er der indtegnet en ret linje der går igennem de to punkter, denne rette linje kaldes en sekant og sekantens hældning kaldes differenskvotienten. I eksemplet i figuren vil differenskvotienten kunne bestemmes på samme måde som hældningen for en ret linje

Forenden endnu en figur med funktionen f. Igen der indtegnet to punkter, P og Q. Denne gang er afstanden mellem de to punkter mindre, dvs. at h er mindre.

Jo mindre h bliver, dets tættere vil punktet Q komme på P.

Man siger at h bliver så lille som muligt uden at være nul og derfor kan man sige at sekantens hældning svarer til tangentens hældning.

Man siger at h har en grænseværdi. Grænseværdien er 0 og den bevæger vi os imod. Når dette er tilfældet og man skal finde hældningen, betegner man nu hældningen for differentialkvotienten, f'(x).

Vi opskriver igen hældningen for sekanten

Det vigtige man skal huske her er, at man bestemmer differentialkvotienten ved at lade h gå mod grænseværdien 0. Dette vil sige at den bliver mindre og mindre og til sidst ligger punktet Q så godt som oveni punktet P, dog uden at gøre det helt.

Dermed bliver sekantens hældning den samme som tangentens.

Vil du have bedre karakter i matematik? Prøv gratis og bliv bedre til matematik nu!

Differentialregning – matematik bevis 1

Vi starter med at bevise at funktionen f(x) = x² differentieret er f'(x) = 2x.
Det første skridt er at opskrive differentialkvotienten for f

Dernæst skal differentialkvotienten reduceres. Vi starter med at gange parentesen ud

Vi kan nu se at de to går ud med hinanden og vi har nu

Dernæst er der nogle h’er der går ud med hinanden og vi ender med

Nu skal vi så lade h blive mindre og mindre. Vi siger at den bliver så lille at den er så godt som 0. Vores endelig resultat bliver derfor

Vi har nu bevist at f(x) = x² differentieret er lig f'(x) = 2x.

Vil du blive bedre til matematik? Træn opgaver allerede idag og se resultater. Prøv gratis og kom igang nu!

Differentialregning – matematik bevis 2

Vi vil nu bevise at funktionen f(x) = ax + b differentieret er lig f'(x) = a. Det første skridt er at opskrive differentialkvotienten for f

Vi ganger nu a ind i den første parentes

Vi kan nu se at de to led ax₀ forsvinder samt de to b’er og vi har nu

Vi kan nu hurtigt se at h’erne går ud med hinanden og vi ender med

f'(x) = a

Vi har nu bevist at f(x) = ax + b differentieret er lig f'(x) = a.

Få et forspring i klassen –  Kom igang med matematik træningen idag og se resultater!

Differentialregning – matematik bevis 3

Vi vil nu bevise at  differentieret er lig

Det første skridt er at opskrive differentialkvotienten for f

Vi sætter nu de brøker i tælleren på fælles brøkstreg

Dernæst reduceres udtrykket

Vi lader nu h gå mod nul og siger at den nu er 0. Dermed får vi

Vi har nu bevist at differentieret er lig .

Vi har nu gennemgået nogle vigtige beviser indenfor differentialregning. Det vigtige at huske at indsætte den ønskede funktion i differentialkvotienten

Og dernæst forkorte udtrykket så meget som muligt og dernæst lade h gå mod nul.

Prøv evt. selv at bevise at f(x) = x³ differentieret er lig f'(x) = 3x².

Herunder har vi samlet andre gode artikler du kan få gavn af

Gennemgang af beviset for Sinusrelationerne – gjort nemt og enkelt for dig