Den eksponentielle funktion – Bestemmelsen af fremskrivningsfaktoren a
Den eksponentielle funktion er givet ved forskriften
f(x) = b ⋅ ax
hvor konstanten a angiver funktionens fremskrivningsfaktor og konstanten b angiver skæringen med y-aksen.
Fremskrivningsfaktoren er givet ved udtrykket
Men hvor ved vi at man kan bestemme en eksponentialfunktions fremskrivningsfaktoren ved at benytte ovenstående udtryk? Hvordan kan vi være sikre på at det gælder?
Vi vil derfor bevise ovenstående udtryk.
Skal du have hjælp til matematik? Prøv gratis og se resultater med det samme!
Beviset for en eksponentialfunktions fremskrivningsfaktor a
Vi starter med at betragte den eksponentielle funktion f som er afbilledet på figuren herunder.
Dernæst betragter vi to punkter på der ligger på grafen. Disse to punkter kalder vi for (x1, y1) og (x2, y2).
Vi indsætter nu de to punkter i forskriften for vores eksponentielle funktion. Ved at indsætte de to punkter får vi de to udtryk
y1 = b ⋅ ax2
y1 = b ⋅ ax1
Vi kan nu se at vi har to ligninger med to ubekendte, nemlig de to konstanter a og b. Det næste skridt er at dele de to ligninger med hinanden. Ved at gøre dette fås
Vi kan nu hurtigt se at b’erne går ud med hinanden og vi har dermed
For at komme videre i beviset skal vi kigge lidt i vores matematiske værktøjskasse og benytte en af potensreglerne, nemlig den der siger at
Ved et benytte denne potensregel kan vi omskrive udtrykke til
Er du presset i matematik? Prøv gratis og vær igang indenfor 30 sekunder!
Vi er nu næsten i mål. Vi kan se at fremskrivningsfaktoren a er opløftet i (x2 – x1). Vi kan derfor bestemme a ved at tage den (x2 – x1)’te rod på begge sider af lighedstegnet.
Ved at gøre dette fås
Vi har nu fundet det ønskede udtryk for fremskrivningsfaktoren og er dermed færdige med beviset.
Vil du have endnu flere beviser, så har vi herunder flere matematikbeviser til dig som vil være klar til din mundtlige matematikeksamen.
Differentialregning beviser – gennemgang af beviser du skal kunne til den mundtlige eksamen
Gennemgang af beviset for Sinusrelationerne – gjort nemt og enkelt for dig
Share: