fbpx

Komplet gennemgang af beviset for cosinus relationerne i vilkårlige trekanter med spidse og stumpe vinkler

Cosinusrelationerne

Når man skal arbejde med vilkårlige trekanter, dvs. ikke retvinklede trekanter, er cosinusrelationerne en af de vigtigste redskaber.

Cosinusrelationerne viser sammenhængen mellem en trekants vinkler og dens sider. Der findes tre cosinusrelationer.

De tre er givet ved

 

Skal du blive god til matematik? Så hjælper vi dig til højere karakterer på Danmarks førende matematiktræner – prøv gratis og se resultater idag!Opret bruger nu

 

De tre relationer følger det samme bevis. Vi vælger derfor at bevise den øverste, hvor vinklen A indgår. Vi beviser cosinusrelationen for to forskellige værdier af A, en hvor A er spids (<90 grader) og en hvor A er stump (>90 grader).

Bevis for Cosinus relationen med en spids vinkel

Vi starter med det bevis hvor A er spids. Vi starter med at tegne en vilkårlig trekant ABC, hvor A er spids.

Vi indtegner dernæst trekantens højde, h, ud fra B. Højden deler linjen ǀACǀ i to dele. De to dele betegner vi x og b – x .

Ved at indtegne højden h opdeler vi samtidig den vilkårlige trekant i to retvinklede trekanter. Vi benytter nu Pythagoras’ sætning. For en sikkerheds skyld husker vi at Pythagoras’ sætning er givet ved

hvor a og b er trekantens kateter og c angiver hypotenusen. Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den mindste af de to retvinklede trekanter

Vi isolerer nu højden h i udtrykket

Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den store retvinklede trekant og vi opskriver derfor

Vi isolerer igen højden h i udtrykket

Da vi nu har sat de to udtryk lig højden i anden, kan vi sætte dem lig hinanden

Vi vil nu gerne have a2 til at stå alene, derfor lægger vi (b – x)2 til på begge sider

Det næste skridt er at gange parentesen ud

Dette indsætter vi nu i udtrykket

Vi kan hurtigt se at x2 og -x2 går ud med hinanden og vi ender med

 

Det er super nemt at komme igang – det tager max 30 sekunder! Opret dig med en gratis bruger idag og bliv god til matematik!Opret med Facebook

 

Vi vil gerne slippe af med x, da den jo ikke indgår i vores trekant. Vi betragter igen den lille retvinklede trekant. Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den hosliggende katete delt med hypotenusen.

Vi kan derfor opskrive udtrykket

Vi isolerer nu x i udtrykket

Dette udtryk for x kan vi nu indsætte i udtrykket for a2

Vi har nu bevist cosinusrelationen, når vinklen A er spids.

 

Bevis for Cosinus relationen med en stump vinkel

Det næste skridt er at gennemgå beviset når vinkel A er stump. Vi starter med at tegne en vilkårlig trekant ABC hvor vinkel A er stump.

Dernæst indtegner vi igen trekantens højde, h, ud fra B. Vi forlænger desuden siden b således at det punkt hvor højden rammer b kalder vi for D. Vi har nu to retvinklede trekanter, En stor og en lille. Den store er trekant DBC og den lille er DBA.

Den store retvinklede trekant har kateterne h og x + b, samt hypotenusen a. Den lille retvinklede trekant har de to kateter h og x samt hypotenusen c.

 

Vil du se endnu flere opgaver, hvor du skal bruge cosinus relationerne? Vi er Danmarks førende matematiktræner med topkarakter på Trustpilot!Opret bruger nu

 

Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den store retvinklede trekant. Vi får dermed

Vi isolerer dernæst højden h i udtrykket

Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den lille retvinklede trekant. Vi får derfor

Vi isolerer dernæst højden h i udtrykket

Da vi nu har sat de to udtryk lig højden i anden, kan vi sætte dem lig hinanden

Vi vil nu gerne have a2 til at stå alene, derfor lægger vi (x + b)2 til på begge sider

Det næste skridt er at gange parentesen ud

Dette indsætter vi nu i udtrykket

Vi kan hurtigt se at x2 og -x2 går ud med hinanden og vi ender med

Vi vil gerne slippe af med x, da den jo ikke indgår i vores trekant. Vi kan ikke benytte samme metode som før, da vi nu har med en stump vinkel at gøre.

 

Flere og flere vælger os fordi de opnår en bedre karakter til deres matematikeksamen – Kom igang med det samme!Opret med Facebook

 

Vi betragter nedenstående figur. På figuren kan vi se at der afsat to vinkler, nemlig vinklen A og vinklen 180 – A. De to vinkler er symmetriske omkring y-aksen. Dette betyder at cosinus til begge vinkler giver det samme resultat, bortset fra med modsat fortegn, derfor må det gælde at

Vi benytter nu relationen

vi skal dog blot ændre fortegnet og dermed fås

Vi kan nu isolere x

Vi indsætter nu udtrykket for x ind i udtrykket for a2

Ved indsættelse fås

Vi har nu bevist cosinusrelationen, når vinklen A er stump.

Vil du læse flere af vores artikler, så giver jeg dig herunder 3 gode, som du kan starte med 🙂

Gennemgang af bevis for arealet af en vilkårlig trekantBeregn areal og vinkel i en vilkårlig trekant – Læs og forstå det på under 2 minutter!Matematikopgave i eksponentiel funktion på STX b niveau

Share: