Cosinusrelationerne
Når man skal arbejde med vilkårlige trekanter, dvs. ikke retvinklede trekanter, er cosinusrelationerne en af de vigtigste redskaber.
Cosinusrelationerne viser sammenhængen mellem en trekants vinkler og dens sider. Der findes tre cosinusrelationer.
De tre er givet ved
Skal du blive god til matematik? Så hjælper vi dig til højere karakterer på Danmarks førende matematiktræner – prøv gratis og se resultater idag!
De tre relationer følger det samme bevis. Vi vælger derfor at bevise den øverste, hvor vinklen A indgår. Vi beviser cosinusrelationen for to forskellige værdier af A, en hvor A er spids (<90 grader) og en hvor A er stump (>90 grader).
Bevis for Cosinus relationen med en spids vinkel
Vi starter med det bevis hvor A er spids. Vi starter med at tegne en vilkårlig trekant ABC, hvor A er spids.
Vi indtegner dernæst trekantens højde, h, ud fra B. Højden deler linjen ǀACǀ i to dele. De to dele betegner vi x og b – x .
Ved at indtegne højden h opdeler vi samtidig den vilkårlige trekant i to retvinklede trekanter. Vi benytter nu Pythagoras’ sætning. For en sikkerheds skyld husker vi at Pythagoras’ sætning er givet ved
hvor a og b er trekantens kateter og c angiver hypotenusen. Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den mindste af de to retvinklede trekanter
Vi isolerer nu højden h i udtrykket
Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den store retvinklede trekant og vi opskriver derfor
Vi isolerer igen højden h i udtrykket
Da vi nu har sat de to udtryk lig højden i anden, kan vi sætte dem lig hinanden
Vi vil nu gerne have a2 til at stå alene, derfor lægger vi (b – x)2 til på begge sider
Det næste skridt er at gange parentesen ud
Dette indsætter vi nu i udtrykket
Vi kan hurtigt se at x2 og -x2 går ud med hinanden og vi ender med
Det er super nemt at komme igang – det tager max 30 sekunder! Opret dig med en gratis bruger idag og bliv god til matematik!
Vi vil gerne slippe af med x, da den jo ikke indgår i vores trekant. Vi betragter igen den lille retvinklede trekant. Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den hosliggende katete delt med hypotenusen.
Vi kan derfor opskrive udtrykket
Vi isolerer nu x i udtrykket
Dette udtryk for x kan vi nu indsætte i udtrykket for a2
Vi har nu bevist cosinusrelationen, når vinklen A er spids.
Bevis for Cosinus relationen med en stump vinkel
Det næste skridt er at gennemgå beviset når vinkel A er stump. Vi starter med at tegne en vilkårlig trekant ABC hvor vinkel A er stump.
Dernæst indtegner vi igen trekantens højde, h, ud fra B. Vi forlænger desuden siden b således at det punkt hvor højden rammer b kalder vi for D. Vi har nu to retvinklede trekanter, En stor og en lille. Den store er trekant DBC og den lille er DBA.
Den store retvinklede trekant har kateterne h og x + b, samt hypotenusen a. Den lille retvinklede trekant har de to kateter h og x samt hypotenusen c.
Vil du se endnu flere opgaver, hvor du skal bruge cosinus relationerne? Vi er Danmarks førende matematiktræner med topkarakter på Trustpilot!
Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den store retvinklede trekant. Vi får dermed
Vi isolerer dernæst højden h i udtrykket
Vi benytter nu Pythagoras’ sætning på den lille retvinklede trekant. Vi får derfor
Vi isolerer dernæst højden h i udtrykket
Da vi nu har sat de to udtryk lig højden i anden, kan vi sætte dem lig hinanden
Vi vil nu gerne have a2 til at stå alene, derfor lægger vi (x + b)2 til på begge sider
Det næste skridt er at gange parentesen ud
Dette indsætter vi nu i udtrykket
Vi kan hurtigt se at x2 og -x2 går ud med hinanden og vi ender med
Vi vil gerne slippe af med x, da den jo ikke indgår i vores trekant. Vi kan ikke benytte samme metode som før, da vi nu har med en stump vinkel at gøre.
Flere og flere vælger os fordi de opnår en bedre karakter til deres matematikeksamen – Kom igang med det samme!
Vi betragter nedenstående figur. På figuren kan vi se at der afsat to vinkler, nemlig vinklen A og vinklen 180 – A. De to vinkler er symmetriske omkring y-aksen. Dette betyder at cosinus til begge vinkler giver det samme resultat, bortset fra med modsat fortegn, derfor må det gælde at
Vi benytter nu relationen
vi skal dog blot ændre fortegnet og dermed fås
Vi kan nu isolere x
Vi indsætter nu udtrykket for x ind i udtrykket for a2
Ved indsættelse fås
Vi har nu bevist cosinusrelationen, når vinklen A er stump.
Vil du læse flere af vores artikler, så giver jeg dig herunder 3 gode, som du kan starte med 🙂
Gennemgang af bevis for arealet af en vilkårlig trekant – Beregn areal og vinkel i en vilkårlig trekant – Læs og forstå det på under 2 minutter! – Matematikopgave i eksponentiel funktion på STX b niveau
Share: