Matematikopgave i eksponentiel funktion på STX b niveau

Denne gang har jeg valgt at skrive et indlæg, hvor jeg vil gennemgå en aktuel eksamensopgave i eksponentielle funktioner på gymnasie stx niveau b. Dette er en helt standard opgave, hvor jeg vil lære dig fremgangsmåden, og hvordan du tackler opgaverne. Det aller bedste råd jeg kan give dig, inden du læser videre er helt klart, at du skal forstå at matematik er det enkleste i hele verden, så længe du har lært fremgangsmåden i opgaven – og den vil jeg lære dig her!

Prøver du at få din hjerne til at tænke, at matematik faktisk er meget meget simpelt, så bliver det endnu lettere at forstå 🙂 Forestil dig ganske kort, at der er en masse kloge mennesker, der er MEGET klogere end du og jeg. De har udviklet en masse formler, som vi skal bruge. I realiteten så skal du blot indsætte nogle opgivne tal fra en opgave i en formel, isolere et tal og bingo så har du resultatet! Lad nu for filan vær med at gøre det sværere.

Herunder er det som sagt en standard matematik eksamensopgave i eksponentiel vækst, taget fra studentereksamen dvs. STX niveau b. Prøv at se om du kan få de rigtige resultater – smid gerne en kommentar med dit resultat, så skal jeg nok kvittere med om du har regnet rigtigt eller ej. Hvis ikke, så skal jeg nok hjælpe dig på rette vej 🙂

Bliv god til matematik og hæv din karakter. Træn gratis opgaver på Danmarks førende matematiktræner! Kom igang nu og se merkante resultater med det samme!

Så vil du være den bedste og lære alt om eksponentielle funktioner og fremskrivningsfaktor, så følger du opskriften herunder og lærer fremgangsmåden i opgaven. Så næste gang du ser samme type opgave i eksponentiel funktion, så er det bare tallene der ændrer sig. Så vil du kunne løse sådan en opgave som denne på under 3 minutter…promise!

Det er vigtigt at nævne, at den hjælp du får i form af tips i denne gennemgang – det er præcis den samme matematik hjælp, som du vil få ved hver opgave på Danmarks førende matematiktræner. Så se at komme igang, og træn opgaver på træneren, så skal du se merkante resultater til din eksamen.

Kollegieværelser – Trin for trin gennemgang af eksponentiel vækst – skriv gerne dit resultat som kommentar!

I et bestemt område A har den gennemsnitlige pris for en bestemt type kollegieværelse udviklet sig efter modellen

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Benyt modellen til at bestemme den gennemsnitlige pris på kollegieværelset i 2013

Du skal bestemme den gennemsnitlige pris på kollegieværelset i 2013.

Du får oplyst, at sammenhængen kan beskrives ved funktionen

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Du har indirekte fået oplyst en x-værdi (et antal år efter 2010), idet du skal bestemme prisen i år 2013. Det vil sige, at x-værdien er lig 2013 – 2010. Denne værdi kan du indsætte på x’splads i funktionen:

f(x) = 2155 · 1,07^x

Det er nu kun f(x) (den gennemsnitlige pris) der er ubekendt i ovenstående udtryk, og det du gerne vil bestemme.

Regn derfor ud, hvad f(x) giver for x = 2013 – 2010

Du har nu bestemt den gennemsnitlige pris på kollegieværelset i 2013.

Hvad er den årlige procentvise ændring i den gennemsnitlige pris på kollegieværelset?

Du skal bestemme den årlige procentvise ændring i den gennemsnitlige pris på kollegieværelset.

Du får oplyst, at sammenhængen kan beskrives ved funktionen

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Bemærk, at dette er formlen for en eksponentiel funktion, som er på formen

f(x) = b · a^x

Tallet a (1,07) er derfor fremskrivningsfaktoren for udviklingen i årene efter 2010.

Der gælder, at forholdet mellem fremskrivningsfaktoren a og vækstraten (r) for en eksponentiel udvikling er givet ved:

a = 1 + r

r = a – 1

Dette giver et kommatal som skal ganges med 100 for at få et resultat i procent, som angiver hvor meget y i den eksponentielle udvikling på formen y = b · a^x vokser i procent, når x vokser med 1.

I tilfældet med sammenhængen mellem den gennemsnitslige pris på denne type kollegieværelse i område A og antal år efter 2010:

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr), gælder der altså, at vækstraten givet ved:

r = a – 1, som beregnes ved at indsætte værdien for a (1,07), skal ganges med 100, for at man kan bestemme hvor meget f(x) vokser i procent, når x vokser med 1 – dvs. hvor meget prisen vokser i procent pr. år.

Det vil sige, at

r · 100%

angiver den årlige procentvise stigning i den gennemsnitlige pris på kollegieværelset.

Det er nemt og enkelt at træne endnu flere opgaver. Gør som andre studerende og hæv din karakter merkant.  Tilmeld dig gratis via facebook og vær igang på 10 sekunder!

I hvilket år er den gennemsnitlige pris på kollegieværelset på 2800 kr.?

Du skal bestemme den tid der går, før den gennemsnitlige pris på kollegieværelset er på 2800 kr.

Du får oplyst, at sammenhængen kan beskrives ved funktionen

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Du har altså fået oplyst en f(x)-værdi (en pris) på 2800 og skal bestemme den tilhørende x-værdi (antal år).

Indsæt derfor 2800 på f(x)’s plads i formlen:

f(x) = 2155 · 1,07^x

Nu er x den eneste ubekendte (og den du gerne vil bestemme).

Den kan bestemmes ved hjælp af lommeregnerens ”solve”-kommando(i TI-Nspire CAS bruges denne i Beregninger).

Det indtastes således på lommeregneren:

solve(f(x) = 2155 · 1,07^x,x)

[Her er ”,” et andet komma, end det du bruger til decimaltal (/komma-tal), som er angivet med ”.”]

– husk her at sætte 2800 ind på f(x)’s plads.

Du har nu bestemt den tid der går i år efter 2010, før den gennemsnitlige pris på kollegieværelset er på 2800 kr. Du skal altså lægge værdien sammen med tallet 2010 og runde op til nærmeste hele tal – også selvom det er et decimaltal mindre end 0,5.

Herved har du bestemt det årstal, hvori prisen når op på 2800 kr.

I et andet geografisk område B har den gennemsnitlige pris for en samme type kollegieværelse udviklet sig efter modellen

g(x) = 2390 · 1,05^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og g(x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Benyt de to modeller til at bestemme hvor mange år der går, før den gennemsnitlige pris for denne type værelse i de to områder er ens

Du skal bestemme hvor mange år der går, før den gennemsnitlige pris for denne type værelse i de to områder er ens.

Du har fået oplyst udviklingen af område A til at kunne beskrives ved funktionen:

f(x) = 2155 · 1,07^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og f (x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Og at område B kan beskrives ved:

g(x) = 2390 · 1,05^x

hvor x betegner tiden målt i år efter 2010, og g(x) betegner den gennemsnitlige pris for kollegieværelset (målt i kr).

Du får oplyst, at prisen på de ens kollegieværelser i de to forskellige områder skal være ens.

Da f(x) og g(x) netop angiver prisen, skal du altså finde den værdi af x, for hvilken:

f(x) = g(x)

Du kan nemt finde den værdi for x for hvilken f(x) = g(x) ved hjælp af ”solve”-kommandoen på din lommeregner. Her henvises til TI-Nspire CAS.

Det tastes således på lommeregneren:

solve(f(x)=g(x),x)

Den fremkomne x-værdi er det antal år der går, før den gennemsnitlige pris for denne type værelse i de to områder er ens.

Jeg giver dig herunder en masse andre relevante artikler. Rigtig god fornøjelse 🙂

Mangler du lektiehjælp i matematik?, Gode nyheder fra Beståmatematik.dk, Lær alt om indekstal – klik her og lær alt hvad du skal kunne