Retvinklet trekant – Trigonometri (2:3). Beregning af sidelængder og vinkler ved brug af Sinus, Cosinus og Tangens.

Denne artikel om retvinklede trekanter er nummer to ud af tre. Artiklens formål er, at gøre den studerende i stand til, at løse eksamensopgaver som omhandler retvinklede trekanter – herunder beregning af sidelængder og vinkler ved hjælp af Sinus, Cosinus og Tangens.

Oftest er de studerendes problem i opgaver der omhandler retvinklede trekanter, at de har svært ved at gennemskue, hvornår man skal bruge Sinus, Cosinus og Tangens. Det giver vi svaret på i denne artikel.

Beregning af en vinkel ved hjælp af Sinus relationen i en retvinklet trekant.

Hvis vi tager vores eksempel fra tidligere og ændrer forudsætningerne, så vi nu kun kender sidelængden BC (BC = 5) og sidelængden AB (AB = 9,43), så kan man finde vinkel A (markeret med rød i figuren herunder) i trekanten ved hjælp af sinus relationerne.

Retvinklet trekant 29 artikel

Sinus relationerne er givet ved;

Retvinklet trekant 30 artikel

eller skrevet på en anden måde

Retvinklet trekant 31 artikel

Hvor a er et udtryk for den modstående katete ift. til vinkel A og lille c er et udtryk for hypotenusen.

 

Træn endnu flere eksamensopgaver i trigonometri og bliv helt klar til eksamen.Vi er anbefalet af lærere og elever. 9/10 mener at få en bedre karakter. Prøv gratis allerede idag!
Opret bruger nu

 

For at beregne vinkel A, så defineres trekantens sidelængder. Ud fra vinkel A bliver modstående sidestykke lille a, osv. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 32 artikel

Vi indsætter nu vores værdier i sinus relationerne herunder, og beregner vinkel A.

Retvinklet trekant 33 artikel

Vinkel A er altså 32,0 grader. Det betyder at vi kan beregne vinkel B til 58,0 grader. Vinkelsummen i en trekant er 180 grader, og vi kender vinkel C som er 90 grader (den rette vinkel), og vi har lige beregnet vinkel A til 32,0 grader. Det vil sige at vi kan tage vinkelsummen (180 grader), og fratrække vinkel C (90,0 grader) og vinkel A (32,0 grader). Man kan derfor beregne vinkel B til 58,0 grader.

Beregning af vinkel B

Hvis vi ændre lidt på vores eksempel, så det ikke længere er sidelængden BC og sidelængden AB vi kender, men derimod sidelængden AC (AC = 8) og sidelængden AB (AB = 9,43), så vil vi kunne beregne vinkel B, da vi kender den modstående katete (sidelængden AC) og hypotenusen (sidelængden AB) ved hjælp af sinus relationerne. Se figur herunder;

Retvinklet trekant 2

Da vi nu ønsker at beregne vinkel B, så ser sinus relationen givet ved;

Retvinklet trekant 34 artikel

Inden vi indsætter de kendte værdier i sinus relationerne, så defineres trekantens sidestykker ved at sidestykket overfor vinkel B bliver lille b, osv. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 3

Vi indsætter nu i sinus relationen herunder og beregner vinkel B;

Retvinklet trekant 35 artikel

Beregning af en sidelængde ved hjælp af Sinus relation i en retvinklet trekant.

For at kunne beregne en sidelængde ved hjælp af sinus relationen, så skal man kende en vinkel, og den modstående katete eller hypotenusen, da sinus relationen er givet ved;

Retvinklet trekant 36 artikel

Hvis vi stadig tager udgangspunkt i vores eksempel fra tidligere, men endnu en gang ændrer forudsætningerne, så vi nu kun kender vinkel A = 32 grader, og hypotenusen = 9,43 (sidelængde AB) i vores trekant, så kan vi beregne sidelængden BC. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 37 artikel

Sidelængderne defineres herunder;

Retvinklet trekant 38 artikel

Vi indsætter nu i sinus relationen for, at beregne sidelængden BC (modstående katete).

Retvinklet trekant 39 artikel

 

Bliv toptunet til din matematik eksamen. Træn flere opgaver på matematik træneren og se merkante resultater. Du bliver trænet og får hjælp i tidligere matematik opgaver. Prøv systemet helt gratis!
Opret bruger nu

 

Beregning af hosliggende katete

Hvis vi igen ændrer lidt på vores eksempel, så vi nu kun kender vinkel B = 58 grader og hypotenusen = 9,43 (sidelængde AB), så kan vi igen ved hjælp af sinus relationerne beregne sidelængden AC. Se trekanten herunder;

Retvinklet trekant 40 artikel

Nu defineres sidelængderne i den retvinklede trekant herunder;

Retvinklet trekant 41 artikel

Vi indsætter de oplyste værdier i sinus relationerne for, at beregne sidelængde AB (modstående katete).

Retvinklet trekant 42 artikel

Beregning af en vinkel ved hjælp af Cosinus relationen i en retvinklet trekant.

For at kunne beregne en vinkel ved hjælp af Cosinus relationen i en retvinklet trekant, så skal man kende den hosliggende katete og hypotenusen. Det vil altså sige, at sammenhængen kan skrives som;

Retvinklet trekant 43 artikel

Eller omskrevet til;

Retvinklet trekant 44 artikel

Hvor lille a er lig den hosliggende katete ift. til vinkel A og lille c er et udtryk for hypotenusen.

Hvis vi tager udgangspunkt i eksemplet som vi anvendte tidligere i denne artikel, og antager at vi kender længden AB = 9,43 og længden af AC = 8, så kan vi ved hjælp af Cosinus relationen beregne vinkel A.

Retvinklet trekant 10 artikel

For at beregne vinkel A, så skal trekantens sidelængder defineres. Ud fra vinkel A bliver modstående sidestykke lille a, osv. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 11 artikel

Vi anvender nu Cosinus relationen til at beregne vinkel A i trekanten, da vi kender den hosliggende katete (sidelængden AC) og hypotenusen (sidelængden AB). Vi indsætter i Cosinus relationen herunder;

Retvinklet trekant 45 artikel

Vi har altså nu beregnet vinkel A ved hjælp af Cosinus relationen. Vi ændrer nu eksemplet så vi kender sidelængden BC = 5 og sidelængden AB = 9,43. Vi kan nu beregne vinkel B ved hjælp af Cosinus relationen. Vi kender den hosliggende katete (sidelængden BC) og vi kender hypotenusen (sidelængden AB). Se nedenstående figur;

Retvinklet trekant 12 artikel

Vi anvender Cosinus relationen igen, men denne gang til at beregne vinkel B. Men først definerer vi sidelængderne i trekanten som vi har gjort tidligere. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 13 artikel

Vi indsætter nu i Cosinus relationen herunder;

Retvinklet trekant 46 artikel

 

Lær og forstå Cosinus, Sinus og Tangens. Træn tidligere eksamensopgaver og bliv helt klar til eksamen. Flere og flere studerende opnår topkarakter ved at bruge matematik træneren. Prøv selv og se hvorfor. Kom igang helt gratis.
Opret bruger nu

 

Beregning af en sidelængde ved hjælp af Cosinus relationen i en retvinklet trekant.

For at kunne beregne en sidelængde ved hjælp af Cosinus relationen skal man kende en vinkel, og den hosliggende katete eller hypotenusen. Hvis vi bruger vores retvinklet trekant fra tidligere, og vi antager at vi kender vinkel A = 32 grader, og vi kender sidelængden AB = 9,43 (hypotenusen), så kan vi beregne sidelængden AC (hosliggende katete). Se den retvinklet trekant herunder;

Retvinklet trekant 47 artikel

Igen defineres sidelængderne i den retvinklet trekant inden vi indsætter i Cosinus relationen for, at finde sidelængden AC (hosliggende katete).

Retvinklet trekant 48 artikel

Vi indsætter nu i Cosinus relationen;

Retvinklet trekant 49 artikel

Antager vi nu at vi kender vinkel A = 32 grader og sidelængden AC = 8 (hosliggende katete), så kan vi beregne sidelængden AB (hypotenusen) ved hjælp af Cosinus relationen.

Retvinklet trekant 50 artikel

Vi definerer sidelængderne som tidligere, inden der indsættes i Cosinus relationen.

Retvinklet trekant 51 artikel

Der indsættes;

Retvinklet trekant 52 artikel

Hvis vi ændrer lidt på vores eksempel igen, så vi nu kender vinkel B = 58 grader og sidelængden AB = 9,43 (hypotenusen), så kan vi beregne sidelængden BC (hosliggende katete). Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 53 artikel

Sidelængderne defineres;

Retvinklet trekant 54 artikel

Der indsættes i Cosinus relationen herunder;

Retvinklet trekant 55 artikel

Vi antager nu, at vi kender vinkel B = 58 grader og sidelængden BC = 5 (hosliggende katete), og vi kan derfor beregne hypotenusens længde ved hjælp af Cosinus relationen. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 56 artikel

Igen defineres sidelængderne i den retvinklet trekant.

Retvinklet trekant 57 artikel

Vi indsætter i Cosinus relationen for, at finde længden af hypotenusen;

Retvinklet trekant 59 artikel

 

Vil du være helt klar til din matematik eksamen? Så træn gamle eksamensopgaver på matematik træneren. Du får gravis hjælp til at løse opgaverne. Gør som mange andre. Få succes til din matematik eksamen. Scor topkarakter nu. Opret gratis med Facebook!

Opret med Facebook

 

Beregning af en vinkel ved hjælp af Tangens relationen i en retvinklet trekant.

For at kunne beregne en vinkel i en retvinklet trekant ved hjælp af Tangens relationen skal man kende den retvinklede trekants to kateter (den hosliggende og den modstående katete).

Det betyder sammenhængen kan skrives som;

Retvinklet trekant 60 artikel

Eller omskrevet til;

Retvinklet trekant 61 artikel

Hvis vi anvender vores eksempel fra tidligere, og gerne vil beregne vinkel A og vi kender sidelængden BC = 5 (modstående katete) og sidelængden AC = 8 (hosliggende katete), så kan vi ved hjælp af Tanges relationen beregne vinkel A. Se nedenstående figur;

Retvinklet trekant 22 artikel

Sidelængderne defineres;

Retvinklet trekant 62 artikel

Vi indsætter nu i Tanges relationen herunder;

Retvinklet trekant 63 artikel

Hvis man ønsker at finde vinkel B i den retvinklet trekant kan det ligeledes gøres ved hjælp af Tangens relationen. Hvis vi anvender eksemplet fra før, hvor sidelængden BC = 5 (er nu den hosliggende katete) og sidelængden AC = 8 (er nu den modstående katete), så kan vi beregne vinkel B. Se figur herunder;

Retvinklet trekant 24 artikel

Vi definere nu sidelængderne ligesom vi har gjort tidligere;

Retvinklet trekant 64 artikel

Tangens relationen anvendes, og vi indsætter;

Retvinklet trekant 65 artikel

 

Kom igang med at score topkarakter på under 2 sek. Opret en gratis bruger med Facebook nu! 3/4 bliver bedre til matematik og 9/10 mener at få en bedre karakter ved at bruge matematik træneren. Prøv idag og se merkante resultater!

Opret med Facebook

 

Beregning af en sidelængde ved hjælp af Tangens relationen i en retvinklet trekant.

For at kunne beregne en sidelængde ved hjælp af Tangens relationen skal man kende en vinkel, og én af de to kateter. Vi igen bruger eksemplet fra før, men vi ændrer forudsætningerne så vi kender vinkel A = 32 grader og vi kender sidelængden AC = 8 (hosliggende katete), så kan vi finde sidelængden BC. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 25 artikel

Igen navngiver vi sidelængderne i den retvinklet trekant;

Retvinklet trekant 26 artikel

Vi indsætter nu i Tangens relationen for, at beregne sidelængden BC.

Retvinklet trekant 66 artikel

Hvis vi ændrer på vores eksempel igen, så vi nu kender vinkel B = 58 grader, og sidelængden BC = 5, så kan vi beregne sidelængden AC. Se figuren herunder;

Retvinklet trekant 68 artikel

Sidelængderne navngives;

Retvinklet trekant 69 artikel

Vi indsætter nu i Tangens relationen;

Retvinklet trekant 70 artikel

Vi håber du finder vores artiklen letforståelig. Rigtig god fornøjelse 🙂

Herunder kan du finde andre gode artikler:

Lær at forstå Pythagoras, Lær at forstå Eksponentiel funktion, Lær at forstå Ensvinklede trekanter 

Google+

Share:

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *