fbpx

Eksponentiel funktion – følg disse simple råd og bliv bedre

Denne artikel har til formål, at gøre den studerende i stand til at løse opgaver i eksponentiel funktion i forbindelse med den skriftlige matematik eksamen på niveau c.

Det har vist sig at emnet eksponentiel funktion er et af de emner som de studerende har svært ved til eksamen. En af årsagerne er, at de studerende har svært ved at skelne mellem en potens funktion og en eksponentiel funktion. Vi giver dig svaret til, hvordan du bliver god til løsning af opgaver i eksponentiel funktion. Vi vil herunder tage udgangspunkt i et eksempel, som kunne have været en eksamensopgave. Det er vigtigt, at holde sig for øje, at hvis man først lærer fremgangsmåden til, hvordan en opgave skal gribes an, så er det stort set kun tallene der skal ændres ved en opgaveløsning.

En eksponentiel funktion har forskriften;
eks 1

Den eksponentielle funktion kan afbildes som en graf. Hvis man tegner den eksponentielle funktion på enkelt logaritmisk papir, så vil det blive til en ret linje.

 

Eksempel på løsning af eksamensopgave i eksponentiel funktion

Martin indsætter 10.000 kr. på en bankkonto i år 2000. Efter 10 år er saldoen på kontoen vokset til 25.937,43. Indestående på bankkontoen kan beskrives ved funktionsforskriften:

eks 1

Hvor y er saldoen på bankkontoen, og x er antal år efter 2000.

 

Beregn fremskrivningsfaktoren a i den eksponentielle funktion

For at beregne a (fremskrivningsfaktoren) ud fra to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) skal man benytte formlen;

eks 2

Fra opgaveteksten kan man udlede, at der er tale om en eksponentiel funktion ud fra den opgivet funktionsforskrift, og man får også givet to punkter (det er skjult i opgaveteksten), nemlig punktet (0 , 10.000) og punktet (10 , 25.937,43). Da vi har to punkter kan vi beregne a, og vi indsætter derfor i formlen for a:

 

eks 3

 

Vil du træne endnu flere eksponentielle opgaver? Hæv din karakter i matematik nu. Prøv vores anmelderroste eksamenstræner helt gratis og scor topkarakter! Opret bruger nu

 

 

Beregn startværdien b i den eksponentielle funktion

For at kunne beregne b, som er der hvor grafen skærer y-aksen kræver det at man kender fremskrivningsfaktoren a, og et punkt på grafen (I vores eksempel kender vi to punkter). Formlen til beregning af b er;

eks 4

Vi beregner b ved hjælp af punktet (0 , 10.000), og vi har allerede beregnet a til 1,1. Vi indsætter i formlen for b herunder;

eks 5

Hvis vi havde valgt at beregne b ud fra det andet punkt vi kender, så havde vi fået samme resultat, men for eksemplets skyld beregne vi herunder b ved brug af punktet (10 , 25.937,43);

eks 6

Vi har nu beregnet fremskrivningsfaktoren a og vi har beregnet b som er skæringen med y-aksen. Vi kan herefter opgøre funktionsforskriften (vi indsætter værdierne for a og b i formlen for den eksponentielle funktion):

eks 7

Vi har afbildet grafen for den eksponentielle funktion herunder;

eks 8

 

Flere og flere studerende mener at kunne få en højere karakter til matematik eksamen med vores matematik træner. Opret gratis med facebook nu og se hvordan du hæver din karakter med det samme!

Opret med Facebook

 

Beregning af værdien x

Til den skriftelige eksamen vil man oftest blive spurgt til, hvad en værdi x er, såfremt man får oplyst y. I vores eksamens eksempelopgave kunne spørgsmålet lyde;

Hvor mange år skal der gå, hvis Martin ønsker at der minimum skal stå 31.384,29 kr. på kontoen?

I spørgsmålet får man givet y-værdien (saldoen på kontoen efter x antal år), som er 31.384,29. Det betyder at hvis man skal svare på spørgsmålet, så skal man indsætte værdien på y´s plads i funktionsforskriften. Det gøres herunder;

eks 9

Vi har nu én ligning med en ubekendt, og vi isolerer derfor x og finder ud af hvor lang tid der vil gå for, at Martin opnår det ønskede beløb på kontoen.

eks 10

Det vil sige at der går 12 år før Martins saldo på kontoen er 31.384,29 eller i år 2012 (2000 + 12).

 

Beregning af værdien y

Man vil også til den skriftlige eksamen kunne blive spurgt til, hvad værdien af y er, når man får givet x. I vores eksempel opgave kunne et spørgsmål være;

Beregn hvad saldoen er på Martins konto efter 8 år.

Man får i spørgsmålet oplyst en værdi for x, som er 8 år (x = 8). For at kunne svare på spørgsmålet skal man indsætte værdien 8 på x´s plads i funktionsforskriften. Det gøres herunder;

eks 11

Vi har nu én ligning med en ubekendt. Vi løser ligningen, og finder hvad saldoen er efter 8 år. Bemærk at det ikke er nødvendigt, at isolerer y, da y allerede er isoleret. Vi løser herunder;

eks 12

 

Hvad fortæller konstanterne a og b i den eksponentielle funktion?

Dette spørgsmål vil man også kunne blive mødt med til den skriftlige matematik eksamen. For at kunne svare på spørgsmålet, skal man læse opgaveteksten grundigt. Det er her man skal finde svaret.

Konstanten a (fremskrivningsfaktoren) fortæller hvordan den eksponentielle funktion udvikler sig. Der gælder følgende sammenhæng for fremskrivningsfaktoren a;

a > 0 (fremskrivningsfaktoren skal være større end 0)

Hvis a > 1, så er der tale om en voksende eksponentiel udvikling
Hvis 0 < a < 1, så er der tale om en aftagende eksponentiel udvikling

Konstanten a fortæller hvor mange procent y vokser/aftager med for hvert x. Sagt på en anden måde, så er en eksponentiel funktion en procentvis stigende/aftagende funktion.

I vores eksempelopgave er a større end 1. Vi har dermed at gøre med en voksende eksponentiel udvikling (Det kan ses af grafen fra tidligere). Konstanten a er i vores eksempel et udtryk for hvert år der går, så stiger Martin saldo på bankkontoen med 10% (a =1,1).

Konstanten b er begyndelsesværdien for den eksponentielle funktion. Vi har tidligere beregnet b til at være 10.000. I vores eksempelopgave betyder b, altså startsaldoen på Martins konto (Han indsatte til at starte med 10.000 kr.).

 

Beregning af fordoblingskonstanten/fordoblingstiden

Dette spørgsmål kan man med stor sandsynlighed møde til eksamen. For at kunne beregne fordoblingskonstanten/fordoblingstiden, så skal man kende fremskrivningsfaktoren a, og a skal være større end 1 (Det skal være tale om en voksende eksponentiel udvikling). Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden beregnes ved formlen;

eks 13

I vores eksempelopgave er vores fremskrivningsfaktor a = 1,1. Vi indsætter a i vores formel:

eks 14

Vi har beregnet fordoblingskonstanten/fordoblingstiden til 7,27. Det betyder at saldoen på Martins bankkonto vil være fordoblet efter 7,27 år.

Beregning af halveringskonstanten/halveringstiden

Beregning af halveringskonstanten kan også forekomme til eksamen. Det kræver at der er tale om en aftagende eksponentiel. Man skal kende fremskrivningsfaktoren a og a skal være mellem 0 og 1. Halveringskonstanten/halveringstiden beregnes ud fra formlen;

eks 15

Sammenligning til prognose/budget

Sammenligning af prognose/budget er oftest også et spørgsmål der kan blive stillet, hvorfor det er godt at gøre sig nogle overvejelser, om hvordan man løser sådan en type opgave. I vores eksempel kunne et spørgsmål eksempelvis være:

Det oplyses på siden mybanker.dk, at den bedste rente man kan får over en 10-årig periode er 12% om året. Undersøg om Martin har opnået den bedste rente.

 For at kunne svare på spørgsmålet, skal man vide hvad der bliver spurgt til. Spørgsmålet går i al sin enkelthed ud på, at sammenligne fremskrivningsfaktorerne, da fremskrivningsfaktoren er den procentuelle stigning når x værdien øges med 1.  I vores eksempelopgave fik vi beregnet a (fremskrivningsfaktoren) for Martins saldo på en bankkonto over en 10-årig periode. Vi finder den procentvise stigning herunder

eks 16

Det vil sige at Martin får en rente på 10% om året i 10 år. Vender vi nu tilbage til spørgsmål, var den bedste rente man kunne opnå 12% om året i 10 år. Det betyder at Martin ikke har opnået den bedste rente.

Vi har med denne artikel forsøgt, at komme med løsninger til de fleste af type spørgsmålene i eksponentiel funktion, som man kan blive mødt med til den skriftlige matematik eksamen. Vi håber du kan benytte det.

Her kan du læse mere om: Få succes til din matematik eksamen, Bliv bedre til ensvinklede trekanter, Matematik hjælp

Share:

127 thoughts on “Eksponentiel funktion – følg disse simple råd og bliv bedre

  1. Thank you, I have recently been searching for info about this subject for a while and yours is the best I have came upon till now. But, what in regards to the conclusion? Are you positive concerning the source?

  2. Greetings! Very helpful advice in this particular article!

    It’s the little changes that will make the biggest changes.
    Thanks a lot for sharing!

  3. It’s appropriate time to make some plans for the
    future and it is time to be happy. I’ve read this post and if I could
    I want to suggest you some interesting things or advice.
    Perhaps you can write next articles referring to this article.
    I desire to read even more things about it!

  4. I do not know whether it’s just me or if everybody else encountering problems with your blog.
    It appears as though some of the text within your content are running off
    the screen. Can someone else please comment and let me know
    if this is happening to them too? This could be a problem with my web browser because I’ve
    had this happen before. Kudos

  5. Pingback: acyclovir brauner provencio

  6. What’s up to all, the contents present at this site are genuinely amazing for people knowledge, well, keep
    up the good work fellows.

  7. Hello just wanted to give you a quick heads up.
    The text in your content seem to be running off the screen in Internet explorer.

    I’m not sure if this is a formatting issue or something to do with internet browser compatibility but I figured I’d post to let
    you know. The layout look great though! Hope you get the issue resolved soon. Kudos

  8. Pretty portion of content. I simply stumbled upon your blog and in accession capital to assert
    that I get actually enjoyed account your blog posts.
    Any way I’ll be subscribing on your augment and even I
    success you get entry to consistently fast.

  9. My programmer is trying to convince me to move to .net from PHP.
    I have always disliked the idea because of the expenses.

    But he’s tryiong none the less. I’ve been using Movable-type on numerous websites for about a year
    and am concerned about switching to another platform.

    I have heard great things about blogengine.net.
    Is there a way I can import all my wordpress content into it?
    Any kind of help would be greatly appreciated!

  10. Woah! I’m really digging the template/theme of this site.
    It’s simple, yet effective. A lot of times it’s challenging to
    get that “perfect balance” between usability and visual appeal.
    I must say you’ve done a amazing job with this.

    Also, the blog loads super fast for me on Chrome.

    Superb Blog!

  11. Definitely imagine that which you said. Your favourite justification seemed
    to be at the web the easiest factor to remember of.
    I say to you, I certainly get annoyed while people consider worries that they just
    don’t understand about. You managed to hit the nail upon the top and also defined out the entire thing with no need side-effects , other people
    could take a signal. Will likely be back to get more.
    Thank you

  12. We are a group of volunteers and starting a new scheme in our community.
    Your web site provided us with valuable information to work
    on. You have done a formidable job and our whole community will be thankful to you.

  13. Pretty section of content. I just stumbled upon your blog and in accession capital
    to assert that I get actually enjoyed account your blog posts.

    Any way I will be subscribing to your feeds and even I achievement you access consistently
    rapidly.

  14. Hello! This is kind of off topic but I need some advice
    from an established blog. Is it difficult to set up your own blog?
    I’m not very techincal but I can figure things out pretty quick.
    I’m thinking about setting up my own but I’m not sure where to start.
    Do you have any points or suggestions? Thanks

  15. After I originally left a comment I seem to have clicked on the -Notify me when new comments are added- checkbox and now whenever a comment is added I receive 4 emails with the same comment.
    There has to be an easy method you can remove me from that service?
    Thank you!

  16. Awesome blog you have here but I was wondering if you knew of any forums that
    cover the same topics discussed in this article?
    I’d really like to be a part of online community where I can get comments from other knowledgeable people that share the
    same interest. If you have any recommendations, please let me know.
    Appreciate it!

  17. I’m amazed, I must say. Rarely do I come across a blog that’s both equally educative and amusing, and
    without a doubt, you have hit the nail on the head.
    The issue is an issue that too few folks are speaking intelligently
    about. I’m very happy I came across this in my search for something relating to
    this.

  18. Hello there, just became alert to your blog through Google, and found that it is really informative.
    I’m going to watch out for brussels. I’ll appreciate if you continue
    this in future. Many people will be benefited from your writing.

    Cheers!

  19. I blog often and I truly thank you for your content.

    The article has really peaked my interest. I will bookmark your website and
    keep checking for new details about once per week.

    I opted in for your RSS feed as well.

  20. Hello there, I discovered your site by means of Google while looking for
    a related topic, your website got here up, it looks great.
    I have bookmarked it in my google bookmarks.

    Hello there, just was alert to your blog thru Google, and located that it’s really informative.
    I am going to be careful for brussels. I’ll appreciate for those who continue this in future.

    Many other people can be benefited from your writing.
    Cheers! https://hhydroxychloroquine.com/

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.