I dette afsnit vil jeg gennemgå en matematikopgave i eksponentiel vækst på højere forberedelseseksamen også kaldet hf. Det skal siges at opgaven er en standard opgave med standard fremgangsmåde dvs. at den er en opgavetype der går igen og igen blot med andre tal for formuleringer, men selve fremgangsmåden forbliver den samme.
Læser du denne trin for trin guide, så er du i stand til at løse matematikopgaver i eksponentielle funktioner. Vil du blive god til matematik, så kan du træne endnu flere af denne type opgaver på hf niveau b på Danmarks førende matematiktræner. Det er gratis at prøve, så tilmeld dig allerede idag og se merkante resultater med det samme.
Hvis du ser lidt taktisk på det, så gælder det for dig at træne gamle eksamensopgaver på det niveau du skal til eksamen i. På den måde, så ved du hvad der forventes og hvordan opgaverne er skruet sammen. Træner du opgaver på vores matematiktræner, så består opgaverne udelukkende at gamle eksamensopgaver, hvor du får gradvis hjælp til at løse opgaven, hvis du ikke kan løse den. Så jo flere opgaver du træner på matematiktræneren, så vil du hurtigt opleve at opgaverne er de samme, men det blot er tallene der ændrer sig.
Så mit bedste råd er at komme igang med at træne så tidligt som muligt. Har du lige gennemgået eksponentiel funktion i klassen, så er det ultimative råd at forsøge at løse nogle opgaver på træneren sideløbende. Så skal du virkelig se resultater, når du kommer til eksamen 🙂
Du må meget gerne komme med dit resultat på nedenstående opgave i en kommentar, så skal vi nok vende retur om det er korrekt eller ej 🙂
Bliv god til matematik og hæv din karakter. Træn gratis opgaver på Danmarks førende matematiktræner! Kom igang nu og se merkante resultater med det samme!
Konfirmationsopsparing eksempel på eksamensopgave på matematik hf niveau b – skriv gerne dit resultat som kommentar!
Sofie blev konfirmeret i år 2007, hvor hun fik en del penge i gaver.
Hun opretter derfor en opsparingskonto hos Nordea med en fast årlig rente. Udviklingen på hendes konto kan beskrives ved modellen:
f(x) = b · ax
hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
Figuren viser udviklingen i perioden 2007 til 2012 af det beløb, der står på hendes konto.
Bestem tallet a og tallet b
Du skal bestemme tallet a og tallet b.
Du får oplyst, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen
f(x) = b · ax
hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
Udviklingen er formlen for en eksponentiel funktion.
I tabellen ovenfor oplyses nogle værdier for sammenhængen mellem årstal og beløb på hendes konto.
Dette datasæt kan du bruge til at bestemme tallet a og tallet b
Da det er en eksponentiel funktion, der med god tilnærmelse beskriver sammenhængen, og du har fået givet et datasæt for sammenhængen (tabellen), skal du bruge eksponentiel regression til at bestemme tallet a.
Du kan lave en eksponentiel regression på din lommeregner (her refereres til TI-Nspire CAS).
Under Lister og Regneark kan du opskrive to lister. Først opskriver du alle de opgivne værdier for antal år efter 2007 (nedad) – det, som x skal angive i funktionen. Husk her, at år 2007 har x-værdien 0, da dette er 0 år efter år 2007. År 2008 har x-værdien 1, da dette er 1 år efter år 2007, 2009 har x-værdien 2, osv.
Ved siden af denne kolonne opskriver du alle de tilhørende opgivne værdier for kontobeløbet på en anden kolonne (nedad). Denne skal være lige til højre for listen med x-værdierne. Disse er tallene, som y skal angive i funktionen. I feltet over det grå felt skriver du ”xlist” ved x værdierne, og ”ylist” ved y-værdierne. Skriv ikke kun ”x” og ”y”, da dette kan give problemer senere.
Udfør nu en eksponentiel regression med udgangspunkt i de to lister til at angive hhv. x- og y-værdier (dette gøres ved at trykke Statistik → Statistiske beregninger → Eksponentiel regression). Til højre for din indtastede data i regnearket optræder nu værdierne for a og b.
Husk at TI-Nspires lommeregner kan finde på at bytte rundt på hvad der er a og b.
Resultatet for tallet a (det tal, der er opløftet i x) er dit svar.
Beregn fordoblingskonstanten
Du skal bestemme fordoblingskonstanten for f(x).
Du har fået oplyst, at f(x) er på formen
f(x) = b · ax
, hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
Dette er en eksponentiel funktion.
For at bestemme fordoblingskonstanten skal du bruge formlen for fordoblingskonstant for en eksponentiel funktion. Denne lyder:
T2 = log(2) / log(a)
Du har i en af de forrige opgaver bestemt tallet a. Tallet a indsættes nu i formlen.
Det tastes således på din lommeregner:
log(2)/log(a)
Du har nu bestemt fordoblingskonstanten
Hvad er fordoblingskonstanten et udtryk for?
Det stykke vi skal gå ud ad x-aksen, før funktionsværdien er fordoblet?
Den værdi y stiger med, når x bliver fordoblet. F.eks. fra x = 2 til x = 4.?
Det stykke vi skal gå op ad y-aksen, før x-værdien er fordoblet?
Den faste procent pr. enhed som funktionen vokser med?
Når man har at gøre med en voksende eksponentiel funktion, så vil den vokse med en fast procent pr enhed på x-aksen. Efter et vist antal x-enheder vil den være vokset med 100% – dvs. den er fordoblet. Det stykke vi skal gå ud ad x-aksen, før funktionsværdien er fordoblet, kalder vi fordoblingskonstanten. Denne betegnes med T2.
Afgør nu, hvilke af de fire valgmuligheder der beskriver fordoblingskonstanten.
Det er nemt og enkelt at træne endnu flere opgaver. Gør som andre studerende og hæv din karakter merkant. Tilmeld dig gratis via facebook og vær igang på 10 sekunder!
Bestem Sofies årlige rente i banken.
Du skal bestemme den årlige rente i banken.
Du får oplyst, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen
f(x) = b · ax
hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
Bemærk, at dette er formlen for en eksponentiel funktion.
Renten er det samme som en årlig procentvis stigning.
Tallet a (som du har bestemt i en af de tidligere opgaver) er derfor fremskrivningsfaktoren for udviklingen i kontobeløbet i årene efter 2007.
Der gælder, at forholdet mellem fremskrivningsfaktoren a og vækstraten (r) for en eksponentiel udvikling er givet ved:
a = 1 + r
Dvs. at vækstraten er givet ved:
r = a – 1
Dette giver et kommatal som skal ganges med 100 for at få et resultat i procent, som angiver hvor meget y i den eksponentielle udvikling på formen
y = b · ax
vokser i procent, når x vokser med 1.
I tilfældet med sammenhængen mellem kontobeløb og antal år efter 2007:
f(x) = b · ax
hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
r = a – 1
som beregnes ved at indsætte værdien for a (bestemt i en tidligere opgave), skal ganges med 100, for at man kan bestemme hvor meget f(x) vokser i procent, når x vokser med 1 – dvs. hvilken rente Sofie får i banken.
Det vil sige, at
r · 100%
angiver renten Sofie har i banken.
Hvor mange procent er Sofies konto steget med fra 2007 til 2012?
Du skal bestemme, hvor mange procent større beløbet på Sofies konto er steget på 5 år (fra 2007-2012).
Du får oplyst, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen
f(x) = b · ax
hvor x er antal år efter 2007 og f(x) er det samlede beløb på hendes opsparingskonto.
Du har desuden beregnet konstanterne a og b, og du har derved den endelige funktionsforskrift for udviklingen.
Du skal nu finde forholdet mellem beløbet på kontoen i året 2007 og i året 2012.
Det gør du ved først at bestemme y-værdierne (beløbene) for år 2007 og 2012.
Til beregning af år 2007 skal du indsætte 0 på x’s plads i funktionsforskriften, da dette er 0 år efter år 2007.
Til beregning af år 2012 skal du indsætte 2012-2007 (eller 5) på x’s plads i funktionsforskriften, da dette er 5 år efter år 2007.
Til beregning af, hvor mange % beløbet i år 2012 er større end beløbet i år 2007, skal du bruge følgende formel:
(Difference / Førstebeløb) · 100
Her er differencen forskellen mellem de to kontobeløb (dvs. f(5)-f(0)), og det første beløb er 8000 (da dette var det, som Sofie startede med at have).
Du har nu beregnet, hvor mange procent beløbet på Sofies konto har udviklet sig med fra 2007 til 2012.
Har du lyst til at læse endnu flere artikler, så har jeg sammenfattet nogle rigtige gode til dig herunder 🙂
Hvad kan vores matematiktræner hjælpe dig med?, Lær alt om lineær funktioner her, Vi er optaget som digitalt læremiddel på matrialeplatformen