Denne artikel har til formål, at gøre den studerende i stand til at løse opgaver i eksponentiel funktion i forbindelse med den skriftlige matematik eksamen på niveau c.
Det har vist sig at emnet eksponentiel funktion er et af de emner som de studerende har svært ved til eksamen. En af årsagerne er, at de studerende har svært ved at skelne mellem en potens funktion og en eksponentiel funktion. Vi giver dig svaret til, hvordan du bliver god til løsning af opgaver i eksponentiel funktion. Vi vil herunder tage udgangspunkt i et eksempel, som kunne have været en eksamensopgave. Det er vigtigt, at holde sig for øje, at hvis man først lærer fremgangsmåden til, hvordan en opgave skal gribes an, så er det stort set kun tallene der skal ændres ved en opgaveløsning.
En eksponentiel funktion har forskriften;
Den eksponentielle funktion kan afbildes som en graf. Hvis man tegner den eksponentielle funktion på enkelt logaritmisk papir, så vil det blive til en ret linje.
Eksempel på løsning af eksamensopgave i eksponentiel funktion
Martin indsætter 10.000 kr. på en bankkonto i år 2000. Efter 10 år er saldoen på kontoen vokset til 25.937,43. Indestående på bankkontoen kan beskrives ved funktionsforskriften:
Hvor y er saldoen på bankkontoen, og x er antal år efter 2000.
Beregn fremskrivningsfaktoren a i den eksponentielle funktion
For at beregne a (fremskrivningsfaktoren) ud fra to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) skal man benytte formlen;
Fra opgaveteksten kan man udlede, at der er tale om en eksponentiel funktion ud fra den opgivet funktionsforskrift, og man får også givet to punkter (det er skjult i opgaveteksten), nemlig punktet (0 , 10.000) og punktet (10 , 25.937,43). Da vi har to punkter kan vi beregne a, og vi indsætter derfor i formlen for a:
Vil du træne endnu flere eksponentielle opgaver? Hæv din karakter i matematik nu. Prøv vores anmelderroste eksamenstræner helt gratis og scor topkarakter! 
Beregn startværdien b i den eksponentielle funktion
For at kunne beregne b, som er der hvor grafen skærer y-aksen kræver det at man kender fremskrivningsfaktoren a, og et punkt på grafen (I vores eksempel kender vi to punkter). Formlen til beregning af b er;
Vi beregner b ved hjælp af punktet (0 , 10.000), og vi har allerede beregnet a til 1,1. Vi indsætter i formlen for b herunder;
Hvis vi havde valgt at beregne b ud fra det andet punkt vi kender, så havde vi fået samme resultat, men for eksemplets skyld beregne vi herunder b ved brug af punktet (10 , 25.937,43);
Vi har nu beregnet fremskrivningsfaktoren a og vi har beregnet b som er skæringen med y-aksen. Vi kan herefter opgøre funktionsforskriften (vi indsætter værdierne for a og b i formlen for den eksponentielle funktion):
Vi har afbildet grafen for den eksponentielle funktion herunder;
Flere og flere studerende mener at kunne få en højere karakter til matematik eksamen med vores matematik træner. Opret gratis med facebook nu og se hvordan du hæver din karakter med det samme!
Beregning af værdien x
Til den skriftelige eksamen vil man oftest blive spurgt til, hvad en værdi x er, såfremt man får oplyst y. I vores eksamens eksempelopgave kunne spørgsmålet lyde;
Hvor mange år skal der gå, hvis Martin ønsker at der minimum skal stå 31.384,29 kr. på kontoen?
I spørgsmålet får man givet y-værdien (saldoen på kontoen efter x antal år), som er 31.384,29. Det betyder at hvis man skal svare på spørgsmålet, så skal man indsætte værdien på y´s plads i funktionsforskriften. Det gøres herunder;
Vi har nu én ligning med en ubekendt, og vi isolerer derfor x og finder ud af hvor lang tid der vil gå for, at Martin opnår det ønskede beløb på kontoen.
Det vil sige at der går 12 år før Martins saldo på kontoen er 31.384,29 eller i år 2012 (2000 + 12).
Beregning af værdien y
Man vil også til den skriftlige eksamen kunne blive spurgt til, hvad værdien af y er, når man får givet x. I vores eksempel opgave kunne et spørgsmål være;
Beregn hvad saldoen er på Martins konto efter 8 år.
Man får i spørgsmålet oplyst en værdi for x, som er 8 år (x = 8). For at kunne svare på spørgsmålet skal man indsætte værdien 8 på x´s plads i funktionsforskriften. Det gøres herunder;
Vi har nu én ligning med en ubekendt. Vi løser ligningen, og finder hvad saldoen er efter 8 år. Bemærk at det ikke er nødvendigt, at isolerer y, da y allerede er isoleret. Vi løser herunder;
Hvad fortæller konstanterne a og b i den eksponentielle funktion?
Dette spørgsmål vil man også kunne blive mødt med til den skriftlige matematik eksamen. For at kunne svare på spørgsmålet, skal man læse opgaveteksten grundigt. Det er her man skal finde svaret.
Konstanten a (fremskrivningsfaktoren) fortæller hvordan den eksponentielle funktion udvikler sig. Der gælder følgende sammenhæng for fremskrivningsfaktoren a;
a > 0 (fremskrivningsfaktoren skal være større end 0)
Hvis a > 1, så er der tale om en voksende eksponentiel udvikling
Hvis 0 < a < 1, så er der tale om en aftagende eksponentiel udvikling
Konstanten a fortæller hvor mange procent y vokser/aftager med for hvert x. Sagt på en anden måde, så er en eksponentiel funktion en procentvis stigende/aftagende funktion.
I vores eksempelopgave er a større end 1. Vi har dermed at gøre med en voksende eksponentiel udvikling (Det kan ses af grafen fra tidligere). Konstanten a er i vores eksempel et udtryk for hvert år der går, så stiger Martin saldo på bankkontoen med 10% (a =1,1).
Konstanten b er begyndelsesværdien for den eksponentielle funktion. Vi har tidligere beregnet b til at være 10.000. I vores eksempelopgave betyder b, altså startsaldoen på Martins konto (Han indsatte til at starte med 10.000 kr.).
Beregning af fordoblingskonstanten/fordoblingstiden
Dette spørgsmål kan man med stor sandsynlighed møde til eksamen. For at kunne beregne fordoblingskonstanten/fordoblingstiden, så skal man kende fremskrivningsfaktoren a, og a skal være større end 1 (Det skal være tale om en voksende eksponentiel udvikling). Fordoblingskonstanten/fordoblingstiden beregnes ved formlen;
I vores eksempelopgave er vores fremskrivningsfaktor a = 1,1. Vi indsætter a i vores formel:
Vi har beregnet fordoblingskonstanten/fordoblingstiden til 7,27. Det betyder at saldoen på Martins bankkonto vil være fordoblet efter 7,27 år.
Beregning af halveringskonstanten/halveringstiden
Beregning af halveringskonstanten kan også forekomme til eksamen. Det kræver at der er tale om en aftagende eksponentiel. Man skal kende fremskrivningsfaktoren a og a skal være mellem 0 og 1. Halveringskonstanten/halveringstiden beregnes ud fra formlen;
Sammenligning til prognose/budget
Sammenligning af prognose/budget er oftest også et spørgsmål der kan blive stillet, hvorfor det er godt at gøre sig nogle overvejelser, om hvordan man løser sådan en type opgave. I vores eksempel kunne et spørgsmål eksempelvis være:
Det oplyses på siden mybanker.dk, at den bedste rente man kan får over en 10-årig periode er 12% om året. Undersøg om Martin har opnået den bedste rente.
For at kunne svare på spørgsmålet, skal man vide hvad der bliver spurgt til. Spørgsmålet går i al sin enkelthed ud på, at sammenligne fremskrivningsfaktorerne, da fremskrivningsfaktoren er den procentuelle stigning når x værdien øges med 1. I vores eksempelopgave fik vi beregnet a (fremskrivningsfaktoren) for Martins saldo på en bankkonto over en 10-årig periode. Vi finder den procentvise stigning herunder
Det vil sige at Martin får en rente på 10% om året i 10 år. Vender vi nu tilbage til spørgsmål, var den bedste rente man kunne opnå 12% om året i 10 år. Det betyder at Martin ikke har opnået den bedste rente.
Vi har med denne artikel forsøgt, at komme med løsninger til de fleste af type spørgsmålene i eksponentiel funktion, som man kan blive mødt med til den skriftlige matematik eksamen. Vi håber du kan benytte det.
Her kan du læse mere om: Få succes til din matematik eksamen, Bliv bedre til ensvinklede trekanter, Matematik hjælp
Share: