fbpx

Sandsynlighedsregning – grundig gennemgang af eksempler, så du forstår det! Lær det på 5 min!

Sandsynlighedsregning

Uden vi tænker over det er vores verden præget af sandsynligheder. Sandsynligheder fremkommer ofte i spil, men de kan findes overalt i hverdagen.

Det kan for eksempel være at der er en vis sandsynlighed for at man støder ind i nogen man kender i supermarkedet eller at der er en vis sandsynlighed for at det regner den næste dag.

Det er de færreste ting der kan forudsiges med hundrede procents sikkerhed, de hændelser/begivenheder vi ikke kan forudsige med et hundrede procents sikkerhed betegner vi for stokastiske.

Vil du blive bedre til sandsynlighedsregning? Kom igang idag og træn endnu flere opgaver på Danmarks førende matematiktræner. Opret bruger nu


Stokastiske hændelser

Lad os starte med at betragte en af de mest simple stokastiske hændelser vi kender fra hverdagen, nemlig et kast med en mønt.

Hvis vi kaster en mønt, er det helt tilfældigt hvilken side mønten lander på. Vi ved at mønten har to sider og der er lige stor sandsynlighed for at lande på hver side.

Når en mønt kastes er der 2 mulige udfald, plat eller krone. Som sagt er alle udfald lige sandsynlige, indenfor sandsynlighedsregning siger man at mønten er symmetrisk.

I tabellen forneden har vi samlet de forskellige udfald

En tabel som den foroven der viser sammenhængen mellem udfald og sandsynligheder betegnes ofte som et sandsynlighedsfelt.

Den opmærksomme læser har nok allerede lagt mærke til at summen af sandsynlighederne altid bliver en. Dette kan vi teste ved at opskrive

Regner man derimod sandsynligheder i procent vil summen blive 100%.


Sandsynlighedsregning med kort spil

Lad os nu prøve at kigge på et andet eksempel indenfor spilverdenen. Lad os kigge på sandsynlighederne for at trække et enten en knægt, dame eller en konge fra et almindeligt spil kort.

Vi ved at et almindeligt spil kort består af 52 kort. Der er 4 knægte, 4 damer og 4 konger.

Dermed bliver sandsynligheden for at trække en knægt

Sandsynligheden for at trække en knægt er altså 1/13.

Da der er ligeså mange damer og konger som knægte, må sandsynligheden for at trække dem være den samme.

Vi opstiller nu sammenhængen mellem udfald og sandsynlighede i en tabel som foroven

Vi kan se at hvis vi lægger samtlige sandsynligheder sammen, så får vi ikke en sum på 1. Hvordan kan det være?

Vi har jo lige sagt at summen af sandsynligheder altid bliver 1. Grunden til at den ikke gør det i eksemplet foroven er at, vi ikke har alle mulige udtrækninger med.

Man kan jo også trække en 8’er eller et es. Der er 13 forskellige kort og chancen for at trække hvert kort er 1/13 og dermed bliver den samlede sum af sandsynligheder 1.

Kom igang helt gratis og se hvorfor flere og flere studerende vælger Danmarks førende matematiktræner! Opret en profil med Facebook og vær igang med det samme!

Opret med Facebook


Udfald og udfaldsrum

Vi har indtil videre nævnt ordet udfald et par gange uden at gå i dybden med det, så lad os nu kigge lidt nærmere på det.

Et udfald kan også beskrives som en bestemt situation hvor noget er sket, man har fx slået en 6’er med en terning og dermed er udfaldet 6.

Et udfald tilhører det vi kalder for et udfaldsrum U. Et udfaldsrum består af de mulige udfald der kan forekomme.

Betragter vi et terningekast består udfaldsrummet U af seks forskellige udfald, da der chance for at slå seks forskellige ting. Udfaldsrummet betegnes med U imens de tilhørende udfald betegnes ui.

Et udfaldsrum for et terningekast kan derfor opskrives på følgende måde


Illustrationer af udfaldsrum

Ofte i matematikken støder man på illustrationer af matematiske koncepter. Figuren forneden viser et udfaldsfaldsrum med fem mulige udfald.

Hvert udfald i et udfaldsrum har tildelt en sandsynlighed. Med andre ord kan man sige at der ved hvert udfald er tildelt et tal mellem 0 og 1 der angiver hvor sandsynligt udfaldet et.


Sandsynlighedsfunktion

Når man tildeler et udfald en bestemt sandsynlighed benytter man det man i matematikken kalder en sandsynlighedsfunktion.

En sandsynlighedsfunktion betegner man P(ui), en sandsynlighedsfunktion er egentlig blot den sandsynlighed der hører til udfaldet. Derfor skal summen af alle sandsynlighedsfunktionerne være 1.

Vi betragter igen møntkastet. Når man kaster mønten har man to udfald der hver har sandsynligheden 1/2.  Vi har derfor P(u1) = 1/2  og P(u2) = 1/2.

Vi kan derfor opskrive summen af sandsynlighedsfunktionerne

Når man kaster en mønt eller en terning siger man indenfor sandsynlighedsregningen, at man udfører et eksperiment med et bestemt udfaldsrum.

Det er dog ofte således at man er interesseret i mere end et udfald. Lad os kigge på eksemplet med terningen igen. Vi ved at terningen har udfaldsrummet


Hændelser

Hvad nu hvis man kun er interesseret i at slå enten 1 eller 6?

Hvis dette er gældende, så er man kun interesseret i de to udfald u1 og u2.

I sandsynlighedsregningen siger man at de to udfald er en del af en mængde som man kalder for en hændelse og som man betegner med et stort bogstav som for eksempel H.  En hændelse vil altid være en del af udfaldsrummet.

På figuren forneden kan man se en hændelsen H = {u2, u4, u5 } som er en del af udfaldsrummet U = {u1, u2, u3, u4, u5}.

Man kan bestemme sandsynligheden for en bestemt hændelse ved blot at lægge sandsynlighedsfunktionerne for de forskellige udfald sammen. VI kan bestemme sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 med en terning ved at opskrive

Vi ved at sandsynligheden for at slå 1 er 1/6 og sandsynligheden for at slå 6 også er 1/6.

Disse værdier kan vi nu indsætte i sandsynligheden for hændelsen, H

Sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 er dermed bestemt til at være 1/3.

Træn med Danmarks førende matematiktræner og se markante resultater allerede idag! Kom igang helt gratis!Opret bruger nu


Udfaldsrum med to hændelser

Når man arbejder med hændelser er der flere forskellige situationer der kan opstå.

I figuren forneden har vi opstillet et udfaldsrum U med to hændelser, A og B. Der hvor de to hændelser ”overlapper” hinanden er det vi kalder for fælleshændelsen.

Dette sker hvis både hændelsen A og B indtræffer.

Hvis vi igen kigger på terningekastet.

Vi vælger at definere hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4}.

Fælles hændelsen i dette tilfælde må være udfaldet u3, da dette udfald indtræffer i begge hændelser.


Komplimentære hændelser

Når man har en hændelse som for eksempel A har man automatisk det man kalder komplimentære hændelse, som betegnes med det samme store bogstav, blot med en streg over.  Den komplimentere hændelse for A vil derfor være A ̅.

Den komplimentære hændelse indeholder alle de udfald der ikke indgår i den ”oprindelige” hændelse, dvs. resten af udfaldsrummet. Dette er illustreret i figuren forneden.


Foreningshændelse

En sidste ting der kan indtræffe når man arbejder med flere hændelser i et udfaldsrum er hvis enten den ene hændelse eller den anden indtræffer, dette kaldes også for foreningshændelsen.

Dette er illustreret i figuren forneden.

Hvis vi igen kigger på terningekastet.

Vi vælger at definerer hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4 }.

Foreningshændelsen må i dette tilfælde må være udfaldet u1, u3, u4 eller u6 da dette udfald indtræffer i begge hændelser.

Topkarakter på Trustpilot – hvorfor venter du? Scor topkarakter i matematik – kom igang nu!

Opret med Facebook


Bestem sandsynligheden ved en bestemt hændelse

Indtil videre har vi kigget mere overordnet på hvad en hændelse er. Er der mon en generel måde hvorpå vi kan beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse?

Har man en bestemt hændelse, B, kan man bestemme sandsynligheden for den hændelse ved at benytte

Antal gunstige udfald er det udfald der ligger i hændelsen, imens antal mulige udfald er samtlige udfald.

Lad os endnu en gang betragte eksperimentet hvor vi kaster en terning og vi håber på at slå en 6’er.

Der er som sagt seks mulige udfald og kun et af dem er en 6’er. Vores antal gunstige udfald er dermed 1 og antal mulige er 6.

Vi opskriver derfor sandsynligheden

Hvad så hvis man skal bestemme sandsynligheden for at slå to 6’ere lige efter hinanden?

I sådan et tilfælde vil der være tale om to hændelser, hvori begge hændelser udfaldet u6 indgår.

Disse to hændelser er dog uafhængige af hinanden, de påvirker ikke hinanden. Terningen husker jo ikke hvad man slog før.

Bliv bedre til matematik med Danmarks bedste matematiktræner. 90% anbefaler os. Opret en bruger gratis og se markante resultater!Opret bruger nu


Eksempel på sandsynlighedsregning med kugler og farver

Man kan bestemme sandsynligheden for at få en kombination af uafhængige hændelser ved at gange sandsynlighederne for hændelserne med hinanden.

Lad os kigge på et eksempel.


Vi antager at vi har en pose fyldt med 25 kugler. 5 af kuglerne er grønne, 10 af kuglerne er blå og de resterende 10 er røde.

Hvad er så sandsynligheden for først at trække først en rød kugle og så en grøn?

Vi skal starte med at finde sandsynligheden for først at trække en rød kugle.

Vi benytter formlen

Vi ved at der er 5 røde kugler og i alt er der 25, disse indsætter vi nu i udtrykket foroven

Sandsynligheden for at trække en rød kugle først er altså 1/5.

Men hvad er så sandsynligheden for dernæst at trække en grøn kugle?

Vi ved at der i alt er 10 grønne kugler i posen, og efter vi har trukket en rød, så må der være 24 i alt.

Disse indsættes nu i udtrykket for at bestemme sandsynligheden for hændelsen

Sandsynligheden for at trække en grøn kugle som nummer 2 er altså 5/12.

Men hvad er sandsynligheden for kombination af at først trække en rød kugle og dernæst en grøn?

Som tidligere nævnt skal vi gange de enkelte sandsynligheder med hinanden. Vi skal altså gange sandsynligheden for først at få en rød kugle med sandsynligheden for at få en grøn kugle som nummer 2.

Vi opskriver derfor

Vi indsætter dernæst de to sandsynligheder

Ved udregning får vi sandsynligheden til at være

Sandsynligheden for bliver derfor 1/12.

Du har nu gennemgået en introduktion til sandsynlighedsregning. Hvis du ønsker at lære mere om sandsynlighedsregning kan du med fordel gå i gang med at læse om Binomialfordelingen. Det er et lidt sværere emne, men på ingen måde umuligt.

Herunder har vi samlet en række artikler,  som kunne være interessante for dig 🙂

Bliv god til Geogebra – lær det her på ingen tid, Læs om  Sam’s rejse til 10 tallet, Bliv helt skarp til statistisk – forklaret så du forstår det!

Share:

126 thoughts on “Sandsynlighedsregning – grundig gennemgang af eksempler, så du forstår det! Lær det på 5 min!

  1. I think everything wrote was very logical.
    But, what about this? what if you added a little content?
    I ain’t suggesting your content is not solid, but what if you
    added something to maybe get folk’s attention? I mean Sandsynligheds
    Regning – Eksempler, så du forstår det. Lær på 5 Min! is kinda
    boring. You might glance at Yahoo’s home page and see how they create article titles to grab people interested.
    You might try adding a video or a related pic or two to get people interested about everything’ve written. Just my opinion, it could make your blog a little livelier.

  2. Hi there, just became aware of your blog through Google, and found that
    it is truly informative. I’m going to watch out for
    brussels. I will be grateful if you continue this in future.
    Many people will be benefited from your writing. Cheers!

  3. What’s Taking place i am new to this, I stumbled upon this I’ve found It positively helpful and it has helped me
    out loads. I’m hoping to contribute & assist other users
    like its helped me. Great job.

  4. Wonderful blog! I found it while surfing around on Yahoo News.

    Do you have any suggestions on how to get listed in Yahoo News?
    I’ve been trying for a while but I never seem to get there!
    Cheers

  5. Greetings from Florida! I’m bored to tears at work so I decided to browse your
    site on my iphone during lunch break. I love the info you
    present here and can’t wait to take a look when I get home.
    I’m shocked at how fast your blog loaded on my mobile ..

    I’m not even using WIFI, just 3G .. Anyhow, very good blog!

  6. Its such as you learn my mind! You appear to understand a lot
    approximately this, like you wrote the e book in it or something
    that is. I feel that you just can do with some % to pressure your message home a lttle bit,
    but as opposed to that, this can be wonderful blog. A great
    read. I am going to certainly return.

    Also visit my web blog; LydaPHonse

  7. Do you have a spam issue on this blog; I also am a blogger, and I was wondering your situation; many of us have created some nice practices and we are looking to trade strategies with other folks, please shoot me an email if interested.

    Here is my blog; mini stickers

  8. Do you mind if I quote a few of your articles as long as I provide credit and sources back
    to your site? My blog is in the exact same area of interest as yours and my users
    would definitely benefit from some of the information you present here.
    Please let me know if this ok with you. Thanks a
    lot!

  9. Hello, i think that i saw you visited my site so i came to “return the favor”.I’m trying to find things to
    improve my website!I suppose its ok to use some of
    your ideas!! games ps4 allenferguson games ps4

  10. What’s Happening i am new to this, I stumbled upon this I have discovered It absolutely helpful and it has
    helped me out loads. I hope to contribute & help other customers like its aided me.
    Great job. ps4 games allenferguson ps4 games

  11. Hey I know this is off topic but I was wondering if
    you knew of any widgets I could add to my blog that automatically tweet my newest twitter updates.

    I’ve been looking for a plug-in like this for quite some time and was hoping maybe you would have some experience with something like this.
    Please let me know if you run into anything. I truly enjoy reading your
    blog and I look forward to your new updates.

  12. Hello, i feel that i saw you visited my weblog thus i came to go back the favor?.I am attempting to find issues to
    enhance my web site!I suppose its good enough to use a few of your concepts!!

  13. It’s in reality a nice and helpful piece of info.
    I am glad that you simply shared this useful info with us.
    Please keep us up to date like this. Thanks for sharing.

  14. Hey there, You have done an incredible job. I will certainly
    digg it and personally suggest to my friends. I’m confident they will be benefited from this
    website. 0mniartist asmr

  15. I actually wanted to compose a quick comment to thank you for all the amazing information you are giving on this site. My long internet research has now been recognized with pleasant ideas to share with my co-workers. I ‘d mention that we site visitors are rather blessed to dwell in a fabulous site with so many perfect professionals with very beneficial basics. I feel very much fortunate to have encountered your website and look forward to tons of more entertaining times reading here. Thanks a lot again for everything.

  16. My brother suggested I might like this blog. He
    was totally right. This post truly made my day. You cann’t imagine just how much time I had spent for this info!
    Thanks! 0mniartist asmr

  17. Having read this I believed it was extremely informative.
    I appreciate you finding the time and effort
    to put this content together. I once again find myself spending way too much
    time both reading and posting comments. But so
    what, it was still worth it! asmr 0mniartist

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *