fbpx

Sandsynlighedsregning – grundig gennemgang af eksempler, så du forstår det! Lær det på 5 min!

Sandsynlighedsregning

Uden vi tænker over det er vores verden præget af sandsynligheder. Sandsynligheder fremkommer ofte i spil, men de kan findes overalt i hverdagen.

Det kan for eksempel være at der er en vis sandsynlighed for at man støder ind i nogen man kender i supermarkedet eller at der er en vis sandsynlighed for at det regner den næste dag.

Det er de færreste ting der kan forudsiges med hundrede procents sikkerhed, de hændelser/begivenheder vi ikke kan forudsige med et hundrede procents sikkerhed betegner vi for stokastiske.

Vil du blive bedre til sandsynlighedsregning? Kom igang idag og træn endnu flere opgaver på Danmarks førende matematiktræner. Opret bruger nu


Stokastiske hændelser

Lad os starte med at betragte en af de mest simple stokastiske hændelser vi kender fra hverdagen, nemlig et kast med en mønt.

Hvis vi kaster en mønt, er det helt tilfældigt hvilken side mønten lander på. Vi ved at mønten har to sider og der er lige stor sandsynlighed for at lande på hver side.

Når en mønt kastes er der 2 mulige udfald, plat eller krone. Som sagt er alle udfald lige sandsynlige, indenfor sandsynlighedsregning siger man at mønten er symmetrisk.

I tabellen forneden har vi samlet de forskellige udfald

En tabel som den foroven der viser sammenhængen mellem udfald og sandsynligheder betegnes ofte som et sandsynlighedsfelt.

Den opmærksomme læser har nok allerede lagt mærke til at summen af sandsynlighederne altid bliver en. Dette kan vi teste ved at opskrive

Regner man derimod sandsynligheder i procent vil summen blive 100%.


Sandsynlighedsregning med kort spil

Lad os nu prøve at kigge på et andet eksempel indenfor spilverdenen. Lad os kigge på sandsynlighederne for at trække et enten en knægt, dame eller en konge fra et almindeligt spil kort.

Vi ved at et almindeligt spil kort består af 52 kort. Der er 4 knægte, 4 damer og 4 konger.

Dermed bliver sandsynligheden for at trække en knægt

Sandsynligheden for at trække en knægt er altså 1/13.

Da der er ligeså mange damer og konger som knægte, må sandsynligheden for at trække dem være den samme.

Vi opstiller nu sammenhængen mellem udfald og sandsynlighede i en tabel som foroven

Vi kan se at hvis vi lægger samtlige sandsynligheder sammen, så får vi ikke en sum på 1. Hvordan kan det være?

Vi har jo lige sagt at summen af sandsynligheder altid bliver 1. Grunden til at den ikke gør det i eksemplet foroven er at, vi ikke har alle mulige udtrækninger med.

Man kan jo også trække en 8’er eller et es. Der er 13 forskellige kort og chancen for at trække hvert kort er 1/13 og dermed bliver den samlede sum af sandsynligheder 1.

Kom igang helt gratis og se hvorfor flere og flere studerende vælger Danmarks førende matematiktræner! Opret en profil med Facebook og vær igang med det samme!

Opret med Facebook


Udfald og udfaldsrum

Vi har indtil videre nævnt ordet udfald et par gange uden at gå i dybden med det, så lad os nu kigge lidt nærmere på det.

Et udfald kan også beskrives som en bestemt situation hvor noget er sket, man har fx slået en 6’er med en terning og dermed er udfaldet 6.

Et udfald tilhører det vi kalder for et udfaldsrum U. Et udfaldsrum består af de mulige udfald der kan forekomme.

Betragter vi et terningekast består udfaldsrummet U af seks forskellige udfald, da der chance for at slå seks forskellige ting. Udfaldsrummet betegnes med U imens de tilhørende udfald betegnes ui.

Et udfaldsrum for et terningekast kan derfor opskrives på følgende måde


Illustrationer af udfaldsrum

Ofte i matematikken støder man på illustrationer af matematiske koncepter. Figuren forneden viser et udfaldsfaldsrum med fem mulige udfald.

Hvert udfald i et udfaldsrum har tildelt en sandsynlighed. Med andre ord kan man sige at der ved hvert udfald er tildelt et tal mellem 0 og 1 der angiver hvor sandsynligt udfaldet et.


Sandsynlighedsfunktion

Når man tildeler et udfald en bestemt sandsynlighed benytter man det man i matematikken kalder en sandsynlighedsfunktion.

En sandsynlighedsfunktion betegner man P(ui), en sandsynlighedsfunktion er egentlig blot den sandsynlighed der hører til udfaldet. Derfor skal summen af alle sandsynlighedsfunktionerne være 1.

Vi betragter igen møntkastet. Når man kaster mønten har man to udfald der hver har sandsynligheden 1/2.  Vi har derfor P(u1) = 1/2  og P(u2) = 1/2.

Vi kan derfor opskrive summen af sandsynlighedsfunktionerne

Når man kaster en mønt eller en terning siger man indenfor sandsynlighedsregningen, at man udfører et eksperiment med et bestemt udfaldsrum.

Det er dog ofte således at man er interesseret i mere end et udfald. Lad os kigge på eksemplet med terningen igen. Vi ved at terningen har udfaldsrummet


Hændelser

Hvad nu hvis man kun er interesseret i at slå enten 1 eller 6?

Hvis dette er gældende, så er man kun interesseret i de to udfald u1 og u2.

I sandsynlighedsregningen siger man at de to udfald er en del af en mængde som man kalder for en hændelse og som man betegner med et stort bogstav som for eksempel H.  En hændelse vil altid være en del af udfaldsrummet.

På figuren forneden kan man se en hændelsen H = {u2, u4, u5 } som er en del af udfaldsrummet U = {u1, u2, u3, u4, u5}.

Man kan bestemme sandsynligheden for en bestemt hændelse ved blot at lægge sandsynlighedsfunktionerne for de forskellige udfald sammen. VI kan bestemme sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 med en terning ved at opskrive

Vi ved at sandsynligheden for at slå 1 er 1/6 og sandsynligheden for at slå 6 også er 1/6.

Disse værdier kan vi nu indsætte i sandsynligheden for hændelsen, H

Sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 er dermed bestemt til at være 1/3.

Træn med Danmarks førende matematiktræner og se markante resultater allerede idag! Kom igang helt gratis!Opret bruger nu


Udfaldsrum med to hændelser

Når man arbejder med hændelser er der flere forskellige situationer der kan opstå.

I figuren forneden har vi opstillet et udfaldsrum U med to hændelser, A og B. Der hvor de to hændelser ”overlapper” hinanden er det vi kalder for fælleshændelsen.

Dette sker hvis både hændelsen A og B indtræffer.

Hvis vi igen kigger på terningekastet.

Vi vælger at definere hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4}.

Fælles hændelsen i dette tilfælde må være udfaldet u3, da dette udfald indtræffer i begge hændelser.


Komplimentære hændelser

Når man har en hændelse som for eksempel A har man automatisk det man kalder komplimentære hændelse, som betegnes med det samme store bogstav, blot med en streg over.  Den komplimentere hændelse for A vil derfor være A ̅.

Den komplimentære hændelse indeholder alle de udfald der ikke indgår i den ”oprindelige” hændelse, dvs. resten af udfaldsrummet. Dette er illustreret i figuren forneden.


Foreningshændelse

En sidste ting der kan indtræffe når man arbejder med flere hændelser i et udfaldsrum er hvis enten den ene hændelse eller den anden indtræffer, dette kaldes også for foreningshændelsen.

Dette er illustreret i figuren forneden.

Hvis vi igen kigger på terningekastet.

Vi vælger at definerer hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4 }.

Foreningshændelsen må i dette tilfælde må være udfaldet u1, u3, u4 eller u6 da dette udfald indtræffer i begge hændelser.

Topkarakter på Trustpilot – hvorfor venter du? Scor topkarakter i matematik – kom igang nu!

Opret med Facebook


Bestem sandsynligheden ved en bestemt hændelse

Indtil videre har vi kigget mere overordnet på hvad en hændelse er. Er der mon en generel måde hvorpå vi kan beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse?

Har man en bestemt hændelse, B, kan man bestemme sandsynligheden for den hændelse ved at benytte

Antal gunstige udfald er det udfald der ligger i hændelsen, imens antal mulige udfald er samtlige udfald.

Lad os endnu en gang betragte eksperimentet hvor vi kaster en terning og vi håber på at slå en 6’er.

Der er som sagt seks mulige udfald og kun et af dem er en 6’er. Vores antal gunstige udfald er dermed 1 og antal mulige er 6.

Vi opskriver derfor sandsynligheden

Hvad så hvis man skal bestemme sandsynligheden for at slå to 6’ere lige efter hinanden?

I sådan et tilfælde vil der være tale om to hændelser, hvori begge hændelser udfaldet u6 indgår.

Disse to hændelser er dog uafhængige af hinanden, de påvirker ikke hinanden. Terningen husker jo ikke hvad man slog før.

Bliv bedre til matematik med Danmarks bedste matematiktræner. 90% anbefaler os. Opret en bruger gratis og se markante resultater!Opret bruger nu


Eksempel på sandsynlighedsregning med kugler og farver

Man kan bestemme sandsynligheden for at få en kombination af uafhængige hændelser ved at gange sandsynlighederne for hændelserne med hinanden.

Lad os kigge på et eksempel.


Vi antager at vi har en pose fyldt med 25 kugler. 5 af kuglerne er grønne, 10 af kuglerne er blå og de resterende 10 er røde.

Hvad er så sandsynligheden for først at trække først en rød kugle og så en grøn?

Vi skal starte med at finde sandsynligheden for først at trække en rød kugle.

Vi benytter formlen

Vi ved at der er 5 røde kugler og i alt er der 25, disse indsætter vi nu i udtrykket foroven

Sandsynligheden for at trække en rød kugle først er altså 1/5.

Men hvad er så sandsynligheden for dernæst at trække en grøn kugle?

Vi ved at der i alt er 10 grønne kugler i posen, og efter vi har trukket en rød, så må der være 24 i alt.

Disse indsættes nu i udtrykket for at bestemme sandsynligheden for hændelsen

Sandsynligheden for at trække en grøn kugle som nummer 2 er altså 5/12.

Men hvad er sandsynligheden for kombination af at først trække en rød kugle og dernæst en grøn?

Som tidligere nævnt skal vi gange de enkelte sandsynligheder med hinanden. Vi skal altså gange sandsynligheden for først at få en rød kugle med sandsynligheden for at få en grøn kugle som nummer 2.

Vi opskriver derfor

Vi indsætter dernæst de to sandsynligheder

Ved udregning får vi sandsynligheden til at være

Sandsynligheden for bliver derfor 1/12.

Du har nu gennemgået en introduktion til sandsynlighedsregning. Hvis du ønsker at lære mere om sandsynlighedsregning kan du med fordel gå i gang med at læse om Binomialfordelingen. Det er et lidt sværere emne, men på ingen måde umuligt.

Herunder har vi samlet en række artikler,  som kunne være interessante for dig 🙂

Bliv god til Geogebra – lær det her på ingen tid, Læs om  Sam’s rejse til 10 tallet, Bliv helt skarp til statistisk – forklaret så du forstår det!

Share:

226 thoughts on “Sandsynlighedsregning – grundig gennemgang af eksempler, så du forstår det! Lær det på 5 min!

  1. Great wordpress blog here.. It’s hard to find quality writing like yours these days. I really appreciate people like you! take care

  2. I am not sure where you are getting your info, but great topic. I needs to spend some time learning more or understanding more. Thanks for fantastic information I was looking for this info for my mission.

  3. I’m truly enjoying the design and layout of your site. It’s a very easy on the eyes which makes it much more pleasant for me to come here and visit more often. Did you hire out a designer to create your theme? Exceptional work!

  4. You have observed very interesting details! ps nice website . “Great opportunities to help others seldom come, but small ones surround us every day.” by Sally Koch.

  5. I am no longer sure the place you are getting your info, but great topic. I needs to spend some time learning much more or figuring out more. Thanks for excellent info I used to be on the lookout for this info for my mission.

  6. Oh my goodness! Incredible article dude!
    Thank you, However I am going through troubles with your RSS.
    I don’t know why I am unable to join it. Is there
    anybody getting similar RSS problems? Anyone that knows the answer can you
    kindly respond? Thanks!!

  7. Hi everyone, it’s my first pay a quick visit at this web page, and article is genuinely fruitful in support of me, keep up posting such content.

  8. Hi there! Quick question that’s totally off topic. Do
    you know how to make your site mobile friendly?
    My site looks weird when browsing from my iphone 4. I’m trying to find a theme
    or plugin that might be able to fix this issue.

    If you have any recommendations, please share.
    Cheers!

  9. Wonderful goods from you, man. I have have in mind your stuff prior
    to and you are simply too fantastic. I really like what you’ve acquired here, certainly like what
    you are stating and the best way during which you assert it.
    You make it enjoyable and you continue to care for to keep it wise.
    I cant wait to read far more from you. This is really a terrific web site.

  10. Howdy! This is my first visit to your blog! We are a collection of volunteers and starting a
    new project in a community in the same niche. Your blog provided us useful
    information to work on. You have done a wonderful job!

  11. I’m extremely impressed with your writing skills as well as with the layout on your weblog.
    Is this a paid theme or did you modify it yourself?
    Either way keep up the nice quality writing, it is rare to see a great blog like this one these days.

  12. I just like the valuable information you provide in your articles.
    I will bookmark your blog and test once more right here regularly.
    I’m slightly certain I’ll be informed plenty
    of new stuff proper right here! Best of luck for the following!

  13. Hey! This is kind of off topic but I need some guidance from an established blog. Is it difficult to set up your own blog? I’m not very techincal but I can figure things out pretty fast. I’m thinking about making my own but I’m not sure where to begin. Do you have any points or suggestions? Appreciate it

  14. Heya i’m for the primary time here. I found this board and I to find It really helpful &
    it helped me out much. I am hoping to present one thing again and aid others such as you
    helped me.

  15. Woah! I’m really enjoying the template/theme of this blog.
    It’s simple, yet effective. A lot of times it’s hard to get that “perfect balance” between usability and visual appearance.
    I must say you’ve done a amazing job with this. In addition, the blog loads very quick for me on Chrome.
    Superb Blog!

  16. always i used to read smaller articles or reviews that also clear their motive, and that is
    also happening with this paragraph which I am reading here.

  17. Its like you read my mind! You appear to know so much about this,
    like you wrote the book in it or something. I think that you could do with a few pics to drive the message home a bit, but other than that, this is great blog.
    An excellent read. I will certainly be back.

  18. Hi there just wanted to give you a quick heads up and let
    you know a few of the pictures aren’t loading properly. I’m not sure why but I think its a linking
    issue. I’ve tried it in two different internet browsers and both show the same outcome.

  19. Have you ever considered creating an e-book or guest authoring
    on other blogs? I have a blog based upon on the same ideas you
    discuss and would love to have you share some stories/information. I know
    my visitors would appreciate your work. If you’re even remotely interested,
    feel free to shoot me an e mail.

  20. Hey there would you mind stating which blog platform
    you’re working with? I’m planning to start my own blog soon but I’m having a hard time deciding between BlogEngine/Wordpress/B2evolution and Drupal.
    The reason I ask is because your layout seems different
    then most blogs and I’m looking for something unique.
    P.S My apologies for getting off-topic but I had to
    ask! http://herreramedical.org/cialis

  21. Somebody essentially assist to make seriously articles I’d state.
    That is the first time I frequented your web page and up to
    now? I amazed with the research you made to make this actual put up amazing.
    Magnificent task!

  22. This design is incredible! You most certainly know how to keep a reader entertained.
    Between your wit and your videos, I was almost moved
    to start my own blog (well, almost…HaHa!) Excellent job.
    I really loved what you had to say, and more than that,
    how you presented it. Too cool! cheap flights http://1704milesapart.tumblr.com/ cheap flights

  23. They’ve heard you. They’ve moved on. It’s the fine-line difference between talking at someone and talking with someone. Which action did that example fall into?
    To help show how you might try a different tactic to get those discussions going, here’s another example:
    카지노사이트

  24. Your reader: I’d like to know more about writing great blog posts that encourage people to leave comments.
    You: Great. Do this. But can I ask what you’ve been doing up to date? Why do you think you aren’t getting more comments?
    스포츠토토사이트

  25. I view something truly special in this site. Sex dolls seem to be a hot commodity, and the frequent appearance of sex dolls in recent years has also been reflected.

  26. Sandsynlighedsregning – grundig gennemgang af eksempler, sa du forstar det! L?r det pa 5 min! – Matematik hj?lp ivermectin without persciption ivermectin tablets side effects for ivermectin stromectol iso -britannia

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.