Sandsynlighedsregning
Uden vi tænker over det er vores verden præget af sandsynligheder. Sandsynligheder fremkommer ofte i spil, men de kan findes overalt i hverdagen.
Det kan for eksempel være at der er en vis sandsynlighed for at man støder ind i nogen man kender i supermarkedet eller at der er en vis sandsynlighed for at det regner den næste dag.
Det er de færreste ting der kan forudsiges med hundrede procents sikkerhed, de hændelser/begivenheder vi ikke kan forudsige med et hundrede procents sikkerhed betegner vi for stokastiske.
Vil du blive bedre til sandsynlighedsregning? Kom igang idag og træn endnu flere opgaver på Danmarks førende matematiktræner. 
Stokastiske hændelser
Lad os starte med at betragte en af de mest simple stokastiske hændelser vi kender fra hverdagen, nemlig et kast med en mønt.
Hvis vi kaster en mønt, er det helt tilfældigt hvilken side mønten lander på. Vi ved at mønten har to sider og der er lige stor sandsynlighed for at lande på hver side.
Når en mønt kastes er der 2 mulige udfald, plat eller krone. Som sagt er alle udfald lige sandsynlige, indenfor sandsynlighedsregning siger man at mønten er symmetrisk.
I tabellen forneden har vi samlet de forskellige udfald
En tabel som den foroven der viser sammenhængen mellem udfald og sandsynligheder betegnes ofte som et sandsynlighedsfelt.
Den opmærksomme læser har nok allerede lagt mærke til at summen af sandsynlighederne altid bliver en. Dette kan vi teste ved at opskrive
Regner man derimod sandsynligheder i procent vil summen blive 100%.
Sandsynlighedsregning med kort spil
Lad os nu prøve at kigge på et andet eksempel indenfor spilverdenen. Lad os kigge på sandsynlighederne for at trække et enten en knægt, dame eller en konge fra et almindeligt spil kort.
Vi ved at et almindeligt spil kort består af 52 kort. Der er 4 knægte, 4 damer og 4 konger.
Dermed bliver sandsynligheden for at trække en knægt
Sandsynligheden for at trække en knægt er altså 1/13.
Da der er ligeså mange damer og konger som knægte, må sandsynligheden for at trække dem være den samme.
Vi opstiller nu sammenhængen mellem udfald og sandsynlighede i en tabel som foroven
Vi kan se at hvis vi lægger samtlige sandsynligheder sammen, så får vi ikke en sum på 1. Hvordan kan det være?
Vi har jo lige sagt at summen af sandsynligheder altid bliver 1. Grunden til at den ikke gør det i eksemplet foroven er at, vi ikke har alle mulige udtrækninger med.
Man kan jo også trække en 8’er eller et es. Der er 13 forskellige kort og chancen for at trække hvert kort er 1/13 og dermed bliver den samlede sum af sandsynligheder 1.
Kom igang helt gratis og se hvorfor flere og flere studerende vælger Danmarks førende matematiktræner! Opret en profil med Facebook og vær igang med det samme!
Udfald og udfaldsrum
Vi har indtil videre nævnt ordet udfald et par gange uden at gå i dybden med det, så lad os nu kigge lidt nærmere på det.
Et udfald kan også beskrives som en bestemt situation hvor noget er sket, man har fx slået en 6’er med en terning og dermed er udfaldet 6.
Et udfald tilhører det vi kalder for et udfaldsrum U. Et udfaldsrum består af de mulige udfald der kan forekomme.
Betragter vi et terningekast består udfaldsrummet U af seks forskellige udfald, da der chance for at slå seks forskellige ting. Udfaldsrummet betegnes med U imens de tilhørende udfald betegnes ui.
Et udfaldsrum for et terningekast kan derfor opskrives på følgende måde
Illustrationer af udfaldsrum
Ofte i matematikken støder man på illustrationer af matematiske koncepter. Figuren forneden viser et udfaldsfaldsrum med fem mulige udfald.
Hvert udfald i et udfaldsrum har tildelt en sandsynlighed. Med andre ord kan man sige at der ved hvert udfald er tildelt et tal mellem 0 og 1 der angiver hvor sandsynligt udfaldet et.
Sandsynlighedsfunktion
Når man tildeler et udfald en bestemt sandsynlighed benytter man det man i matematikken kalder en sandsynlighedsfunktion.
En sandsynlighedsfunktion betegner man P(ui), en sandsynlighedsfunktion er egentlig blot den sandsynlighed der hører til udfaldet. Derfor skal summen af alle sandsynlighedsfunktionerne være 1.
Vi betragter igen møntkastet. Når man kaster mønten har man to udfald der hver har sandsynligheden 1/2. Vi har derfor P(u1) = 1/2 og P(u2) = 1/2.
Vi kan derfor opskrive summen af sandsynlighedsfunktionerne
Når man kaster en mønt eller en terning siger man indenfor sandsynlighedsregningen, at man udfører et eksperiment med et bestemt udfaldsrum.
Det er dog ofte således at man er interesseret i mere end et udfald. Lad os kigge på eksemplet med terningen igen. Vi ved at terningen har udfaldsrummet
Hændelser
Hvad nu hvis man kun er interesseret i at slå enten 1 eller 6?
Hvis dette er gældende, så er man kun interesseret i de to udfald u1 og u2.
I sandsynlighedsregningen siger man at de to udfald er en del af en mængde som man kalder for en hændelse og som man betegner med et stort bogstav som for eksempel H. En hændelse vil altid være en del af udfaldsrummet.
På figuren forneden kan man se en hændelsen H = {u2, u4, u5 } som er en del af udfaldsrummet U = {u1, u2, u3, u4, u5}.
Man kan bestemme sandsynligheden for en bestemt hændelse ved blot at lægge sandsynlighedsfunktionerne for de forskellige udfald sammen. VI kan bestemme sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 med en terning ved at opskrive
Vi ved at sandsynligheden for at slå 1 er 1/6 og sandsynligheden for at slå 6 også er 1/6.
Disse værdier kan vi nu indsætte i sandsynligheden for hændelsen, H
Sandsynligheden for at slå enten 1 eller 6 er dermed bestemt til at være 1/3.
Træn med Danmarks førende matematiktræner og se markante resultater allerede idag! Kom igang helt gratis!
Udfaldsrum med to hændelser
Når man arbejder med hændelser er der flere forskellige situationer der kan opstå.
I figuren forneden har vi opstillet et udfaldsrum U med to hændelser, A og B. Der hvor de to hændelser ”overlapper” hinanden er det vi kalder for fælleshændelsen.
Dette sker hvis både hændelsen A og B indtræffer.
Hvis vi igen kigger på terningekastet.
Vi vælger at definere hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4}.
Fælles hændelsen i dette tilfælde må være udfaldet u3, da dette udfald indtræffer i begge hændelser.
Komplimentære hændelser
Når man har en hændelse som for eksempel A har man automatisk det man kalder komplimentære hændelse, som betegnes med det samme store bogstav, blot med en streg over. Den komplimentere hændelse for A vil derfor være A ̅.
Den komplimentære hændelse indeholder alle de udfald der ikke indgår i den ”oprindelige” hændelse, dvs. resten af udfaldsrummet. Dette er illustreret i figuren forneden.
Foreningshændelse
En sidste ting der kan indtræffe når man arbejder med flere hændelser i et udfaldsrum er hvis enten den ene hændelse eller den anden indtræffer, dette kaldes også for foreningshændelsen.
Dette er illustreret i figuren forneden.
Hvis vi igen kigger på terningekastet.
Vi vælger at definerer hændelsen A = {u1, u3, u6} og hændelsen B = {u3, u4 }.
Foreningshændelsen må i dette tilfælde må være udfaldet u1, u3, u4 eller u6 da dette udfald indtræffer i begge hændelser.
Topkarakter på Trustpilot – hvorfor venter du? Scor topkarakter i matematik – kom igang nu!
Bestem sandsynligheden ved en bestemt hændelse
Indtil videre har vi kigget mere overordnet på hvad en hændelse er. Er der mon en generel måde hvorpå vi kan beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse?
Har man en bestemt hændelse, B, kan man bestemme sandsynligheden for den hændelse ved at benytte
Antal gunstige udfald er det udfald der ligger i hændelsen, imens antal mulige udfald er samtlige udfald.
Lad os endnu en gang betragte eksperimentet hvor vi kaster en terning og vi håber på at slå en 6’er.
Der er som sagt seks mulige udfald og kun et af dem er en 6’er. Vores antal gunstige udfald er dermed 1 og antal mulige er 6.
Vi opskriver derfor sandsynligheden
Hvad så hvis man skal bestemme sandsynligheden for at slå to 6’ere lige efter hinanden?
I sådan et tilfælde vil der være tale om to hændelser, hvori begge hændelser udfaldet u6 indgår.
Disse to hændelser er dog uafhængige af hinanden, de påvirker ikke hinanden. Terningen husker jo ikke hvad man slog før.
Bliv bedre til matematik med Danmarks bedste matematiktræner. 90% anbefaler os. Opret en bruger gratis og se markante resultater!
Eksempel på sandsynlighedsregning med kugler og farver
Man kan bestemme sandsynligheden for at få en kombination af uafhængige hændelser ved at gange sandsynlighederne for hændelserne med hinanden.
Lad os kigge på et eksempel.
Vi antager at vi har en pose fyldt med 25 kugler. 5 af kuglerne er grønne, 10 af kuglerne er blå og de resterende 10 er røde.
Hvad er så sandsynligheden for først at trække først en rød kugle og så en grøn?
Vi skal starte med at finde sandsynligheden for først at trække en rød kugle.
Vi benytter formlen
Vi ved at der er 5 røde kugler og i alt er der 25, disse indsætter vi nu i udtrykket foroven
Sandsynligheden for at trække en rød kugle først er altså 1/5.
Men hvad er så sandsynligheden for dernæst at trække en grøn kugle?
Vi ved at der i alt er 10 grønne kugler i posen, og efter vi har trukket en rød, så må der være 24 i alt.
Disse indsættes nu i udtrykket for at bestemme sandsynligheden for hændelsen
Sandsynligheden for at trække en grøn kugle som nummer 2 er altså 5/12.
Men hvad er sandsynligheden for kombination af at først trække en rød kugle og dernæst en grøn?
Som tidligere nævnt skal vi gange de enkelte sandsynligheder med hinanden. Vi skal altså gange sandsynligheden for først at få en rød kugle med sandsynligheden for at få en grøn kugle som nummer 2.
Vi opskriver derfor
Vi indsætter dernæst de to sandsynligheder
Ved udregning får vi sandsynligheden til at være
Sandsynligheden for bliver derfor 1/12.
Du har nu gennemgået en introduktion til sandsynlighedsregning. Hvis du ønsker at lære mere om sandsynlighedsregning kan du med fordel gå i gang med at læse om Binomialfordelingen. Det er et lidt sværere emne, men på ingen måde umuligt.
Herunder har vi samlet en række artikler, som kunne være interessante for dig 🙂
Bliv god til Geogebra – lær det her på ingen tid, Læs om Sam’s rejse til 10 tallet, Bliv helt skarp til statistisk – forklaret så du forstår det!
Share: