Pythagoras’ sætning
En af de mest berømte og samtidig en af de mest essentielle beviser inden for geometri er Pythagoras’ sætning. Pythagoras’ sætning gælder for retvinklede trekanter. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel, så gælder det at
Hvor a og b angiver de to kateter og c angiver hypotenusen. Man bruger altså Pythagoras’ sætning når man skal bestemme en retvinklet trekants ukendte sider. Men hvordan ved vi at ovenstående sætning netop er korrekt? Dette kan vi sikre os ved at bevise den.
Få højere karakterer i matematik – Træn med Danmarks førende matematiktræner!
Beviser i matematikken kan ofte være frygtindgydende, men kan man holde tungen lige i munden, så er det faktisk slet ikke så svære igen. Lad os prøve at bevise Pythagoras’ sætning.
Vi starter med at tegne et kvadrat. Vi opdeler nu kvadratets sider i to dele, a og b (se figuren forneden). Derved bliver kvadratets sider a+ b .
Indeni kvadratet optegner vi nu 4 retvinklede trekanter, hvis kateter svarer til a og b.
Derudover kan vi se at der bliver dannet en firkant inde i kvadratet. Firkantens sider vælger vi at betegne som c. Men hvordan kan vi være sikre på at den indre firkant er et kvadrat? Dette kan vi være sikre på ved at vise at alle vinklerne i firkanten er 90 grader.
Se markante resultater – Vi hjælper dig med en blive bedre til matematik! Opret dig med Facebook
Vi starter nu med at betragte en af de retvinklede trekanter. Vi kigger på trekanten ABC (se nedenstående figur). Vi vælger at kalde vinkel B for v. Hvis vinkel B er lig v må vinkel A være 90 grader – v . Dette må være gældende da vi ved at vinkel C er ret og dermed 90 grader. Når c = 90 grader må det gælde at A + B = 90. Hvis vi derfor indsætter v på B’s plads
Ved at isolere A, får vi vinklen til at være
Vi kigger nu på trekanten ADE. Vi ved at de trekanterne ABC og ADE er kongruente. Når to trekanter er kongruente betyder det at de er ens. De har altså ens vinkler og sidelængder. Vinkel C i trekant ABC og vinkel D i trekanten ADE er ens. Desuden svarer vinkel B i trekant ABC til vinkel A i trekant ADE . Og vinkel A i trekant ABC svarer til vinkel E i trekant ADE.
Prøv at spotte vinklerne på figuren forneden. Vi vælger nu at kalde vinklen i den indre firkant for u. Vi betragter nu igen figuren forneden. Hvis vi kigger på de tre vinkler 90 – v,u og v og , kan vi se, at det må gælde at
Vi kan nu hurtigt se at v går ud med hinanden i udtrykket foroven og vi får dermed
Vil du have topkarakter i matematik? Vi har fremragende anmeldelser på Trustpilot. Prøv os gratis idag og se resultater!
Ved at trække 90 fra på begge sider kan vi bestemme størrelsen af u
Vi har nu vist at vinklen u er 90 grader og dermed er den indre firkant et kvadrat.
Vi kigger nu igen på det store kvadrat. Arealet af det store kvadrat er givet ved
Arealet af det store kvadrat må også kunne udtrykkes som arealet af de 4 retvinklede trekanter plus arealet af det indre kvadrat. Arealet af en retvinklet trekant er givet ved
Vi kender højden og grundlinjen, de er hhv. a og b. Vi indsætter nu disse to i udtrykket for trekantens areal.
Arealet af det indre kvadrat er givet ved
Vi lægger nu de to sammen for at bestemme arealet af det store kvadrat. Vi husker dog at der er 4 trekanter
Vi sætter nu det nye udtryk for arealet lig det gamle A = (a + b)2
Vi ganger nu parentesen ud på venstre side af lighedstegnet
Vi trækker nu 2 x a x b fra på begge sider
Vi har nu bestemt sammenhængen mellem de tre sider i retvinklede trekanter og dermed også bevist Pythagoras’ sætning.
Herunder finder du endnu flere atikler, som kan være interessante for dig
Bliv bedre til potensfunktioner på under 3 minutter, Bliv bedre til rentes rente – læs med her, Hvilke matematikopgaver skal du fokusere på?
Share: