fbpx

Nem og letforståelig gennemgang af beviset for Pythagoras læresætning a2 + b2 = c2

Pythagoras’ sætning

En af de mest berømte og samtidig en af de mest essentielle beviser inden for geometri er Pythagoras’ sætning. Pythagoras’ sætning gælder for retvinklede trekanter. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel, så gælder det at

Hvor a og b angiver de to kateter og c angiver hypotenusen. Man bruger altså Pythagoras’ sætning når man skal bestemme en retvinklet trekants ukendte sider. Men hvordan ved vi at ovenstående sætning netop er korrekt? Dette kan vi sikre os ved at bevise den.

 

Få højere karakterer i matematik – Træn med Danmarks førende matematiktræner!Opret bruger nu

 

Beviser i matematikken kan ofte være frygtindgydende, men kan man holde tungen lige i munden, så er det faktisk slet ikke så svære igen. Lad os prøve at bevise Pythagoras’ sætning.

Vi starter med at tegne et kvadrat. Vi opdeler nu kvadratets sider i to dele, a og b (se figuren forneden). Derved bliver kvadratets sider a+ b .

Indeni kvadratet optegner vi nu 4 retvinklede trekanter, hvis kateter svarer til a og b.

Derudover kan vi se at der bliver dannet en firkant inde i kvadratet. Firkantens sider vælger vi at betegne som c. Men hvordan kan vi være sikre på at den indre firkant er et kvadrat? Dette kan vi være sikre på ved at vise at alle vinklerne i firkanten er 90 grader.

 

Se markante resultater – Vi hjælper dig med en blive bedre til matematik! Opret dig med FacebookOpret med Facebook

 

Vi starter nu med at betragte en af de retvinklede trekanter. Vi kigger på trekanten ABC (se nedenstående figur). Vi vælger at kalde vinkel B for v. Hvis vinkel B er lig v må vinkel A være 90 grader – v . Dette må være gældende da vi ved at vinkel C er ret og dermed 90 grader. Når c = 90 grader må det gælde at A + B = 90. Hvis vi derfor indsætter v på B’s plads

Ved at isolere A, får vi vinklen til at være

Vi kigger nu på trekanten ADE. Vi ved at de trekanterne ABC og ADE er kongruente. Når to trekanter er kongruente betyder det at de er ens. De har altså ens vinkler og sidelængder. Vinkel C i trekant ABC og vinkel D i trekanten ADE er ens. Desuden svarer vinkel B i trekant ABC til vinkel A i trekant ADE . Og vinkel A i trekant ABC svarer til vinkel E i trekant ADE.

Prøv at spotte vinklerne på figuren forneden. Vi vælger nu at kalde vinklen i den indre firkant for u. Vi betragter nu igen figuren forneden. Hvis vi kigger på de tre vinkler 90 – v,u og v og , kan vi se, at det må gælde at

Vi kan nu hurtigt se at v går ud med hinanden i udtrykket foroven og vi får dermed

 

Vil du have topkarakter i matematik? Vi har fremragende anmeldelser på Trustpilot. Prøv os gratis idag og se resultater!Opret bruger nu

 

Ved at trække 90 fra på begge sider kan vi bestemme størrelsen af u

Vi har nu vist at vinklen u er 90 grader og dermed er den indre firkant et kvadrat.

Vi kigger nu igen på det store kvadrat. Arealet af det store kvadrat er givet ved

Arealet af det store kvadrat må også kunne udtrykkes som arealet af de 4 retvinklede trekanter plus arealet af det indre kvadrat. Arealet af en retvinklet trekant er givet ved

Vi kender højden og grundlinjen, de er hhv. a og b. Vi indsætter nu disse to i udtrykket for trekantens areal.

Arealet af det indre kvadrat er givet ved

Vi lægger nu de to sammen for at bestemme arealet af det store kvadrat. Vi husker dog at der er 4 trekanter

Vi sætter nu det nye udtryk for arealet lig det gamle A = (a + b)2

Vi ganger nu parentesen ud på venstre side af lighedstegnet

Vi trækker nu 2 x a x b fra på begge sider

Vi har nu bestemt sammenhængen mellem de tre sider i retvinklede trekanter og dermed også bevist Pythagoras’ sætning.

Herunder finder du endnu flere atikler, som kan være interessante for dig

Bliv bedre til potensfunktioner på under 3 minutter, Bliv bedre til rentes rente – læs med her, Hvilke matematikopgaver skal du fokusere på? 

Share:

1.841 thoughts on “Nem og letforståelig gennemgang af beviset for Pythagoras læresætning a2 + b2 = c2

  1. Simply want to say your article is as astonishing. The clarity to your publish is simply spectacular and i can think you are an expert in this subject. Well with your permission allow me to grab your feed to keep up to date with approaching post. Thank you 1,000,000 and please continue the enjoyable work.

  2. I like what you guys are up also. Such clever work and reporting! Carry on the excellent works guys I’ve incorporated you guys to my blogroll. I think it will improve the value of my site 🙂

  3. This is the right blog for anyone who wants to find out about this topic. You realize so much its almost hard to argue with you (not that I actually would want…HaHa). You definitely put a new spin on a topic thats been written about for years. Great stuff, just great!

  4. It’s a shame you don’t have a donate button! I’d most certainly donate to this excellent blog! I suppose for now i’ll settle for bookmarking and adding your RSS feed to my Google account. I look forward to fresh updates and will talk about this site with my Facebook group. Talk soon!

  5. Спасибо большое за предоставленную информацию. А мне давно хотелось попробовать найти металлоискателем интересные находки. Не хотелось покупать очень дорогой прибор, так как я новичек в этом, заказал вот такой простенький и недорогой http://alii.pub/5xkqnd . В моей коллекции уже несколько монеток и крестик 🙂

  6. The other day, while I was at work, my sister stole my iphone and tested to see if it can survive a 40 foot drop, just so she can be a youtube sensation. My apple ipad is
    now broken and she has 83 views. I know this is totally off topic but I had to
    share it with someone! http://antiibioticsland.com/Cipro.htm

  7. Howdy! I know this is kinda off topic but I was wondering which blog platform are you using for this site?
    I’m getting fed up of WordPress because I’ve had issues with hackers and I’m looking at options
    for another platform. I would be fantastic if you could point me in the direction of
    a good platform.

  8. I truly love your site.. Very nice colors & theme.
    Did you build this site yourself? Please reply back as I’m trying to create my very own blog and
    would love to know where you got this from or just what the theme is called.

    Appreciate it!

  9. Hmm it seems like your website ate my first comment (it was extremely long) so I guess I’ll just sum
    it up what I submitted and say, I’m thoroughly enjoying your blog.
    I as well am an aspiring blog writer but I’m still new to everything.

    Do you have any tips and hints for inexperienced blog writers?
    I’d certainly appreciate it.

  10. Normally I do not learn article on blogs, but I wish to
    say that this write-up very forced me to take a look at and do so!
    Your writing style has been surprised me. Thank you, quite great article.

  11. It’s difficult to find knowledgeable people for this
    topic, however, you seem like you know what you’re talking about!
    Thanks

  12. I found your weblog website on google and check just a few of your early posts. Proceed to maintain up the superb operate. I just further up your RSS feed to my MSN Information Reader. Looking for ahead to reading more from you later on!…

  13. 38-летний Дэниел Колфилд (Daniel Caulfield) из Тенби, Южный Уэльс, потратил оставленные в наследство сыну 38 тысяч фунтов стерлингов (3,9 миллиона рублей) на развлечения, алкоголь и наркотики. Об этом сообщает Mirror.

    Мать Колфилда открыла банковский счет и положила на него деньги, чтобы внук смог оплатить обучение в университете или купить дом после того, как ему исполнится 18 лет. В 2015 году женщина умерла, а Колфилд с сестрой стали его попечителями и получили доступ к счету.

    Когда наследник стал совершеннолетним, он написал письмо отцу и тете с просьбой отдать ему деньги. На это Колфилд ответил, что он потратил все сбережения и не может их вернуть.

    Сын мужчины написал заявление в полицию. По словам стражей правопорядка, Колфилд попросил прощения за то, что украл деньги и потратил их. Суд приговорил британца к двум годам условного заключения, а также обязал его пройти курс реабилитации и назначил 240 часов общественных работ. По словам Колфилда, он планирует разработать план возвращения долга сыну.

    Ранее сообщалось, что бабушка лишила внучек наследства из-за татуировок. Решение бабушки не распространилось на двух братьев, у которых тоже были наколки.

    Посетить сайт источник – ugg официальный сайт россия

  14. Песня «Подождем» музыканта Игоря Сорокина (известен под псевдонимом Игорек) стала одним из самых необычных хитов 2000-х, поскольку выгодно выделялась на фоне других поп-композиций российской эстрады. История успеха трека раскрывается во второй части спецпроекта «Ленты.ру» о русской попсе 2000-х.

    Отмечается, что композиция быстро завоевала популярность публики благодаря своей ироничности. «Подождем» сильно отличалась от привычных радиохитов — известные музыканты в то время старались исполнять более «серьезные» песни.

    Игорек, переехавший из Новосибирска в Москву и работавший грузчиком, благодаря знакомому записал трек в столичной студии. Ему удалось протолкнуть песню на радио, после чего та быстро стала хитом в России. Артист снял на «Подождем» недорогой клип, выпустил альбом и отправился в гастроли по стране, пытаясь получить из своей кратковременной популярности «как можно больше». Более хитов Игорек не выпускал. Музыкант якобы до сих пор живет на доходы с песни «Подождем».

    Во второй части спецпроекта «Ленты.ру» об истории русской попсы 2000-х рассказывается о состоянии российской эстрады в 2001 году, фестивале «Нашествие» и певце Витасе, а также о самых громких хитах начала миллениума.

    Рекомендуем сайт – купить австралийские угги оригинал в москве с доставкой

  15. I have been surfing online more than 2 hours today, yet I never found any interesting article like yours.
    It is pretty worth enough for me. In my view, if all
    website owners and bloggers made good content as you
    did, the web will be much more useful than ever before.

  16. Разлив нефти у Новороссийска, который произошел 7 августа, оказался в 400 тысяч раз больше, чем сообщалось ранее, — 80 квадратных километров против 200 квадратных метров. Это показала спутниковая съемка.

    «Разлив значительно больше заявленного, поскольку площадь нефтяного загрязнения составила на момент радиолокационной съемки почти 80 квадратных километров. Нефтяное пятно 8 августа было вытянуто от берега в открытое море на расстояние 19 километров», — говорится на сайте Института космических исследований РАН.

    Ранее ТАСС сообщал, что причиной разлива нефти на морском терминале КТК под Новороссийском при погрузке греческого танкера Minerva Symphony стало разрушение внутренней полости гидрокомпенсатора выносного причального устройства. Объем разлива, по информации агентства, составил около 12 кубометров.

    Интернет-портал нашего спонсора – ugg официальный сайт в москве

  17. asking about the location — “wow! are you in (location)?” “Woah, where is this? I would love to visit!” “How was (activity in picture)? I’m thinking of doing it too”
    asking about the context — “Nice! Did you just get out from a performance/interview/talk?”
    카지노사이트

  18. referring to the image itself — “excellent photo! Could I ask who took it?” “beautiful colors! how did you do that?” “
    looking at her interests, hobbies, kinds of articles she shares, movies and music, places she travels to, etc and
    바카라사이트

  19. Still, the posts are very brief for newbies. May you please prolong them a bit from next time? Thank you for the post.

  20. When someone writes an piece of writing he/she maintains
    the thought of a user in his/her brain that how a user can be aware
    of it. Thus that’s why this paragraph is amazing.
    Thanks!

  21. I am really impressed with your writing skills and also with the layout
    on your blog. Is this a paid theme or did you modify it yourself?
    Anyway keep up the nice quality writing, it’s rare to
    see a nice blog like this one nowadays.

  22. I was pretty pleased to uncover this website. I need to to thank you for your time just for this fantastic read!!
    I definitely appreciated every little bit of it and I have you book marked to look at new stuff on your web site.

  23. I really like your writing style, superb information, appreciate it for posting :D. “All words are pegs to hang ideas on.” by Henry Ward Beecher.

  24. In our time, some of people miss different tickets for concerts. If you do not know how is really to buy a ticket, the best way visit web search console. However, you must to know that unusual concert tickets and theater tickets are in great request. These types of entrance documents are already purchased.

    At concertstour.com you can search and buy very interesting upcoming events tickets. In 2022 many of world groups planning a tour. Some of them: Elo, ABBA, Oar, and others. If you want to find entrance documents for the 2022 tour, you can enter a link and buy interesting for you. You must to visit a link on iOs or Android devices. At the moment more and more viewers usually do not know about later tours by the reason of CV-19. That is why world popular performers wish to do a tour. For example, tickets for adam Levine tour are really to buy at the website. You should visit a link john mayer tour 2022 if you desire to visit him and make an order.

    Some of guys after 48 years old checking for a Chevelle tour. Nice rock singers with memorable songs will delight you. Why it is very hard to search cheap tickets for diverse upcoming events tickets? The basic reason – pandemic. Guys all over the world are waiting for available concerts tickets for 2022 and do not know how is it feasible to buy them.

    Today people in diverse towns want to know, where is probable to search and buy tickets for the Alice Cooper tour 2022. You should know that with the support of concertstour website it is probable to do it. Young men know that nice women prefer all ready to go with them to cool concerts. If she wants to see the Anita Baker tour or wishes to visit the CMA awards tour, you can pay at the link and receive tickets by mail. Students would like to visit chvrches 2022 tour inasmuch as songs of this group from Glasgow are the best.

    You should go to concertstour.com if you want to receive tickets for the bee gees concert. Many students from Germany want to visit it. Some are lovers who can to go the concert of Bob Seger by the reason he did many cool songs. Well-known Billy Joel concerts 2022 possible to see by not only TV but you however can buy a ticket and make a payment by PayPal very quickly.

    For all orders, you may use filter by countries and filter by dates. If you desire to find a cheap price, better than concertstour you will not search anywhere. Some of songs by different singers will make a joy for you. Do not be afraid to receive tickets on the link. It is very easy and you will be very glad to receive unusual and famous tickets.

  25. Hi there, every time i used to check website
    posts here in the early hours in the dawn, for the reason that i
    love to find out more and more.

  26. Президент Украины Владимир Зеленский в интервью телеканалу «Интер» ответил на вопрос о его планах баллотироваться на второй срок. Об этом сообщает РИА Новости.

    По его словам, об этом говорить еще рано. Украинский лидер добавил, что соответствующее решение он намерен принять по итогам первой каденции.

    «Я всегда оглядывался назад, чтобы посмотреть, что я сделал и достоин ли я идти в этом направлении дальше. И через пять лет, после своего президентства, я так же остановлюсь точно, посмотрю, что я сделал, выйду на улицу к людям, которые строят страну», — заявил он.

    Политик отметил, что нельзя принимать решение баллотироваться исключительно исходя из собственных амбиций. «Как можно быть президентом страны, которая не хочет тебя избирать? Наш бывший резидент Петр Порошенко] так делал. Я считаю, что это неверно принципиально», — добавил украинский президент.

    В июне 54,5 процента опрошенных украинских граждан выступили против выдвижения Владимира Зеленского на второй президентский срок. По данным опроса Киевского международного института социологии (КМИС), видеть его в качестве кандидата на следующих выборах главы республики хотели бы только 37 процентов респондентов.

    В мае Зеленский заявил, что будет повторно выдвигаться на президентский пост только в том случае, если жители Украины захотят видеть его во главе государства.

    Спонсоры новостей в Москве – распродажа nike в москве

  27. Classroom Chaos: So in 8th grade I used to read during class a lot. At the time I was reading an Artemis Fowl book, and for some reason I had two copies of the same book. So one day in my English class we were reading this other book (which I had already finished reading three days earlier), I was reading my own book and when it was finally my turn to read, I had no idea where we were. So the teacher took my book away, I found my spot, read the part and passed it to the next person to start reading. So after I read my part, I took out my second copy of Artemis and picked up right where I left off. Skip a few minutes ahead, gets back to my turn to read, and again I don’t know where we are. So teacher takes a look at me, sees the book in my hands, then back to her desk obviously confused for a second. But shrugs it off knowing it’s me she’s dealing with (I’ve caused similar problems like this before), takes my second book and puts it on her desk, and makes me read my part. Now my friend that sat two chairs down from me was also reading Artemis at the same time as me and with a quick look to him he knew exactly what I was planning. He took it out and passed it over without hesitation. I opened to a random spot and just pretended like I was reading. (At this point it was just to mess with my teacher.) So skip forward again and my teacher sees me with the book again and says, “How many of those do you have?” I gave my smartass remark as “enough.” She took away that book, too. But now at this point I was out of books, and the rest of my class knew it. But the teacher didn’t know I was out. So she continued with her lesson and another friend of mine took two of her books and switched out two of the Artemis books on her desk to make them look like they were still there. He passed the books slowly around the room, one at a time, until they were back to me. Then I took one out, opened to a random spot and just kept it open, waiting to get caught. I silently signaled to a few people in class and they started laughing. The teacher looked at what they were laughing at and saw me with yet another book. She looked at her desk where there were seemingly 3 Artemis books and saw me with a 4th. She took it, walked back to her desk, put it down, turned around, and saw me with the second book that got taken back on my desk!!! The teacher thought she was going to win this game but underestimated my teamwork with my classmates. So the second she came over to me to take the seemingly 5th book, another classmate took back the other two books from her desk and split them up—sending one to me one way, and the other another way. The teacher was very flustered and laughing hysterically at this point and there was no more teaching going on. The entire class was also going ballistic trying to see who would win. It was just a game of “How many books does this one 8th grader have?” So at the end of the class she thought she had taken 11 books from me. I took pity on her and told her what was really happening. I told her that I had already read the first book, and all the teamwork that went on. We were both laughing and making jokes. In the end she agreed to let me read my own books as long as I kept track of the actual book we were reading. (Meaning, I ask the person next to me tell me when it’s my turn and they point out my spot to read so I don’t actually have to keep track. read more

  28. I loved as much as you will receive carried out right here.

    The sketch is attractive, your authored subject matter stylish.
    nonetheless, you command get bought an shakiness over
    that you wish be delivering the following. unwell unquestionably come more formerly
    again since exactly the same nearly very often inside case you shield this hike.

  29. Жительница английского города Нортгемптон, Великобритания, 25-летняя Лорна Гудингс неожиданно попала в больницу из-за боли в животе и осознала, что беременна, когда у нее уже начались роды. Об этом сообщает Metro.

    В июне 2020 года Гудингс родила первую дочь Вивьен. После родов британка установила контрацептивный имплантат и вскоре почувствовала себя плохо — набрала лишний вес и начала страдать от вздутия живота. «Я сильно прибавила в весе, но знала, что это побочный эффект, поэтому не придала этому значения», — отметила она. Однако неприятные симптомы не проходили, и женщина обратилась к врачу, который предположил, что проблемы со здоровьем могли быть вызваны задержкой воды в организме из-за импланта, и посоветовал британке похудеть.

    «Я совершала длительные прогулки и активно пыталась сбросить вес в надежде, что это поможет избавиться от дискомфорта. Я не думала, что беременна, потому что знала, каково это, поскольку у меня был опыт вынашивания Вивьен», — отметила Гудингс.

    В конце июля британке показалось, что у нее начались схватки, и она решила сделать тест на беременность. Результат оказался отрицательным, и она отправилась на вечеринку с друзьями. В течение вечера боль продолжала усиливаться и вскоре стала невыносимой. Друзья Гудингс отвезли ее в больницу, где выяснилось, что она рожает.

    Через четыре часа 1 августа на свет появилась девочка, которую британка назвала Дафной. Одновременно удивленная и обрадованная Гудингс сообщила о случившемся своему партнеру — 42-летнему Нику Бурдяку, который в это время был на вечеринке. «Ник был в часе езды от нас и пьянствовал с друзьями, когда все это происходило, поэтому я рассказала ему только после родов. Он был потрясен и сокрушался, что не смог быть рядом», — рассказала Гудингс.

    Через два дня после родов британка и ее дочь вернулись домой из больницы.

    Ранее сообщалось, что 43-летняя Дженис Кервик из Лондона, Великобритания, приняла беременность за аппендицит и неожиданно родила при подготовке к операции. В течение 10 лет Кервик и ее 39-летний муж Дэниел пытались зачать ребенка естественным путем и с помощью экстракорпорального оплодотворения.

    Источник – обувь угги австралия официальный сайт

  30. Hey there! Would you mind if I share your blog with my zynga group?
    There’s a lot of people that I think would really enjoy your content.
    Please let me know. Many thanks

  31. If you need our help in delivering goods from China, Japan and Korea, you can contact our company for help. We have empty equipment for loading and we are ready to organize transportation to Europe, Russia and Kazakhstan
    Japanese cars