Integralregning
Integralregning er sammen med differentialregning en af de vigtigste emner indenfor matematikken. De går under fællesbetegnelsen infinitesimalregning.
I infinitesimalregning regner man med uendeligt små størrelser. Man kan i bund og grund sige at integralregning er det omvendte af differentialregning. Man regner den anden vej.
Hvis man differentialregningen har en funktion f differentieres den og dermed
har man f ’. Man kan sige at i integralregningen integrerer man en funktion ved at gå fra
f ’ til f. Man regner altså den anden vej.
Vi vil nu gennemgå de vigtigste aspekter af integralregningen. Vi starter med stamfunktioner
Scor topkarakter med Danmarks førende matematiktræner. Vi er anbefalet af lærere og har fremragende anmeldelser på Trustpilot. Kom igang med det samme på under 10 sekunder!
Stamfunktioner
Som tidligere nævnt er integralregning den omvendte operation af differentialregning. En stamfunktion er den, der fremkommer når en funktion integreres. En stamfunktion betegnes med stort bogstav.
Hvis vi har en funktion f(x) vil dens stamfunktion hedde F(x), og hvis vi differentierer F(x) får vi f(x). Det gælder derfor at
F ‘(x) = f(x)
Lad os kigge på nogle eksempler. Antag at vi har funktionen
f(x) = 2x
Vi vil nu bestemme stamfunktionen til f(x).
Vi skal altså finde en funktion F(x). Det gælder for F(x) at hvis vi differentierer den, så får vi 2x. Vi må derfor spørge os selv om, hvilken funktion kan vi differentiere og få 2x. Funktionen 
opfylder dette krav.
Funktionen er derfor stamfunktion til f(x) = 2x. Lad os nu kigge på funktionen
Vi vil nu bestemme stamfunktionen til g(x).
Vi skal altså finde en funktion G(x). Det gælder for G(x) at hvis vi differentierer den, så får vi 
. Vi må derfor spørge os selv om hvilken funktion kan vi differentiere og få .
Funktionen 
opfylder dette krav. Funktionen er derfor stamfunktion til .
En vigtig detalje ved stamfunktioner er at der findes uendelige mange stamfunktioner til hver funktion. Men hvordan kan det være? Antag nu at vi igen har funktionen
f(x) = 2x
Vi bestemte tidligere at den har stamfunktionen . Dette kan vi teste ved at differentiere den og dermed får vi 2x. Men hvis vi nu antager at stamfunktionen hedder
Hvis vi differentierer den, så får vi også 2x , da totallet forsvinder ved differentiering. Det forsvinder pga. at det er en konstant.
Dermed skal man huske at tilføje en konstant når man integrerer. Oftest kalder man den k eller c. Den korrekte stamfunktion for f(x) = 2x vil derfor hedde
hvor k er en konstant, som forsvinder når vi differentierer stamfunktionen.
Vi har indtil videre kun gættet os frem til stamfunktionerne. Et lille husketrick til når man skal integrere 
er at benytte udtrykket
Lad os kigge på et eksempel. Vi har funktionen
Vi kan nu benytte udtrykket foroven til at bestemme stamfunktionen.
Vi skal først bestemme hvad vores n er. n er det tal der står i potensen og derfor er n=5. Vi indsætter nu 5 på n’s plads i udtrykket for stamfunktionen
Dermed bliver stamfunktionen for f(x)
Tabel med de vigtige stamfunktioner
Bliv bedre til matematik og få endnu mere styr på integral regning. Opret en gratis bruger med Facebook og se resultater med det samme
Regneregler
Når man arbejder med integraler er der forskellige regneregler. Vi vil nu gennemgå dem. Man kan integrere en konstant ganget på en funktion ved blot at ignorere konstanten, integrere funktionen og gange konstanten på bagefter.
Lad os tage et eksempel. Betragt funktionen
Konstanten i dette tilfælde er 2.
Vi kan altså integrere f(x) ved at ignorere 2-tallet og blot fokusere på x2-leddet og gange 2 på bagefter. Stamfunktionen for f(x) bliver derfor
En anden regel er at man integrere en funktion ved at integrere hvert led for sig. Hvis vi fx har funktionen
Funktionen g(x) kan integreres ved at integrere hvert led for sig selv. Stamfunktionen G(x) bliver derfor
Det ubestemte integrale
Når man skal bestemme stamfunktionen benytter man i matematikken et specielt tegn, nemlig tegnet 
. Man skriver fx
For at vise at funktionen 
har stamfunktionen 
. Hvis funktionen f(x) har stamfunktionen F(x) skriver vi
Symbolet kaldes også det ubestemte integrale.
Lad os kigge på et par eksempler.
Vi vil gerne betemme det ubestemte integrale af funktionen f(x) = sin(x). Vi opskriver derfor
Dermed bliver det ubestemte integrale sin(x) + k. Det ubestemte integrale er i bund og grund et andet udtryk for stamfunktionen. Lad os nu betragte funktionen
Vi vil gerne bestemme det ubestemte integrale af f(x). Vi opskriver derfor
Dermed har vi bestemt det ubestemte integrale.
Flere og flere studerende får højere karakterer i matematik ved at bruge Danmarks førende matematik træner. Kom igang lynhurtigt og se markante resultater!
Det bestemte integrale
Når der findes et ubestemt integrale, så findes der selvfølgelig også et bestemt integrale. Forskellen på det ubestemte integrale og det bestemte er, at det bestemte integrale giver et tal og ikke bare en ny funktion.
Hvis vi skal bestemme det bestemte integral af funktionen f(x) skriver vi
Tallene a og b kaldes grænseværdierne. Det bestemte integrale udregnes på følgende måde
Hvor F angiver stamfunktionen til f.
Man skal derfor bestemme stamfunktionen og dernæst indsætte grænseværdierne i stamfunktionen for at bestemme det bestemte integrale.
En vigtigt detalje når man skal finde stamfunktionen når man bestemmer det bestemte integrale, er at man ikke skal tilføje en konstant. Lad os kigge på et eksempel. Betragt funktionen
Bestem det bestemte integrale af
Først indsætter vi funktionen
Dernæst skal vi bestemme stamfunktionen. Vi kan integrere den led for led. Ved integrering fås
Dernæst skal vi indsætte grænserne 0 og 3 på x’s plads.. Vi opksriver derfor
Ved at udregne paranteserne fås
Dermed bliver det bestemte integrale 24. Oftest skriver man blot
Det bestemte integral og areal under kurven
En af de vigtige egenskaber ved det bestemte integrale er at det angiver arealet under kurven fra nedre grænseværdi til den øvre grænseværdi. Hvis vi fx har en funktion f(x) så er det bestemte integrale
Arealet under kurven for funktionen f(x) fra den nedre grænse a til den øvre grænse b. Dette er skitseret på figuren forneden
Lad os kigge på et eksempel. Betragt funktionen
Vi vil gerne bestemme arealet under kurvet fra 0 til 2. Vi opskriver derfor udtrykket for det bestemte integrale med grænserne 0 og 2.
Forneden har vi skitseret grafen for f og skraveret arealet under kurven fra 0 til 2.
Vi kan bestemme arealet ved at løse det bestemte integrale foroven. Stamfunktionen for f(x) bliver
Vi indsætter nu grænserne
Dermed bliver arealet under kurven 6,667.
Beregning af areal med Ti-Nspire
Vi kan gøre det hele lettere for os selv ved at benytte et digitalt værktøj til at bestemme de bestemte integraler. Vi vil nu gennemregne et eksempel i TI-Nspire. Start derfor med at åbne et nyt dokument i Ti-Nspire og vælg tilføj beregninger.
Vi vil gerne bestemme dette bestemte integrale
I Nspire vælger vi ude i venstre side vælger vi ”Differential- og integralregning” og dernæst ”Integral”.
Udfyld nu integralet der fremkommer med grænserne og funktionen.
Og tryk dernæst på enter. Du har nu bestemt det bestemt integral til at være 24.
Lad os hjælpe dig til topkarakter i matematik! Kom igang idag og opret en gratis profil med Facebook på under 5 sekunder
Areal mellem to funktioner.
Vi kan også benytte det bestemte integral til at bestemme arealet af et område to funktioner afgrænser. Dette er ofte en opgave du vil støde på integralregningen.
Betragt funktionerne
Vi ønsker nu at bestemme arealet af det område de to funktioner afgrænser. Til at starte med tegner vi de to funktioner i samme koordinatsystem.
Vi skal bestemme arealet af det lille område M der er angivet på figuren. Som tidligere nævnt kan vi benytte det bestemte integrale til at bestemme arealet af M.
Vi skal først bestemme grænserne. Grænserne er skæringspunkterne for de to grafer. Vi kan benytte solve-funktionen i TI-nspire til at bestemme grænserne. I Nspire skriver vi ”solve(-x^2+5*x+3=2*x+3,x)
Vi har altså bestemt grænserne til at være a = 0 og b = 3.
Vi kan bestemme arealet af M ved at bestemme det bestemte integral af f(x) med grænserne 0 og 3, og dernæst trække det bestemte integrale af g(x) med de samme grænser fra. Vi kan derfor opskrive
Vi indsætter nu funktionerne
Vi kan nu bestemme arealet ved at benytte Nspire.
Vi vælger igen differential- og integralregning” og dernæst ”Integral” ude i venstre side. Før integraltegnet skriver du ”f:=” og dernæst udfylder du integralet med f(x) og dernæst gør du det samme igen med et nyt integrale som du definerer ”g:=” og indsætter funktionen g(x).
Vi kan nu bestemme arealet af M ved blot at trække g fra f. I Nspire skriver vi derfor blot ”f-g” og dermed bestemmer vi arealet til at være 4,5.
Dermed har vi bestemt arealet til at være 48,9898. Hvilket igen afviger en lille smule fra det forrige resultat, men dette skyldes igen afrunding.
Lær alt hvad du skal kunne om vektorer i rummet, Komplet guide til topkarakter i matematik, beregning af indekstal
Share: