fbpx

Bliv god til integral regning lynhurtig – Fantastisk guide til dig, som vil lære ALT på under 2 minutter!

Integralregning

Integralregning er sammen med differentialregning en af de vigtigste emner indenfor matematikken. De går under fællesbetegnelsen infinitesimalregning.

I infinitesimalregning regner man med uendeligt små størrelser. Man kan i bund og grund sige at integralregning er det omvendte af differentialregning. Man regner den anden vej.

Hvis man differentialregningen har en funktion f differentieres den og dermed
har man f ’. Man kan sige at i integralregningen integrerer man en funktion ved at gå fra
f ’ til f. Man regner altså den anden vej.

Vi vil nu gennemgå de vigtigste aspekter af integralregningen. Vi starter med stamfunktioner

 

Scor topkarakter med Danmarks førende matematiktræner. Vi er anbefalet af lærere og har fremragende anmeldelser på Trustpilot. Kom igang med det samme på under 10 sekunder!
Opret bruger nu

 

Stamfunktioner

Som tidligere nævnt er integralregning den omvendte operation af differentialregning. En stamfunktion er den, der fremkommer når en funktion integreres. En stamfunktion betegnes med stort bogstav.

Hvis vi har en funktion f(x) vil dens stamfunktion hedde F(x), og hvis vi differentierer F(x) får vi f(x). Det gælder derfor at

F ‘(x) = f(x)

Lad os kigge på nogle eksempler. Antag at vi har funktionen

f(x) = 2x

Vi vil nu bestemme stamfunktionen til f(x).

Vi skal altså finde en funktion F(x). Det gælder for F(x) at hvis vi differentierer den, så får vi 2x. Vi må derfor spørge os selv om, hvilken funktion kan vi differentiere og få 2x. Funktionen opfylder dette krav.

Funktionen  er derfor stamfunktion til f(x) = 2x. Lad os nu kigge på funktionen

Vi vil nu bestemme stamfunktionen til g(x).

Vi skal altså finde en funktion G(x). Det gælder for G(x) at hvis vi differentierer den, så får vi . Vi må derfor spørge os selv om hvilken funktion kan vi differentiere og få .

Funktionen  opfylder dette krav. Funktionen  er derfor stamfunktion til  .

En vigtig detalje ved stamfunktioner er at der findes uendelige mange stamfunktioner til hver funktion. Men hvordan kan det være? Antag nu at vi igen har funktionen

f(x) = 2x

Vi bestemte tidligere at den har stamfunktionen . Dette kan vi teste ved at differentiere den og dermed får vi 2x. Men hvis vi nu antager at stamfunktionen hedder

Hvis vi differentierer den, så får vi også 2x , da totallet forsvinder ved differentiering. Det forsvinder pga. at det er en konstant.

Dermed skal man huske at tilføje en konstant når man integrerer. Oftest kalder man den k eller c. Den korrekte stamfunktion for f(x) = 2x  vil derfor hedde

hvor k er en konstant, som forsvinder når vi differentierer stamfunktionen.

Vi har indtil videre kun gættet os frem til stamfunktionerne. Et lille husketrick til når man skal integrere  er at benytte udtrykket

Lad os kigge på et eksempel. Vi har funktionen

Vi kan nu benytte udtrykket foroven til at bestemme stamfunktionen.

Vi skal først bestemme hvad vores n er. n er det tal der står i potensen og derfor er n=5. Vi indsætter nu 5 på n’s plads i udtrykket for stamfunktionen

Dermed bliver stamfunktionen for f(x)

 

Tabel med de vigtige stamfunktioner

 

 

Bliv bedre til matematik og få endnu mere styr på integral regning. Opret en gratis bruger med Facebook og se resultater med det sammeOpret med Facebook

 

 

Regneregler

Når man arbejder med integraler er der forskellige regneregler. Vi vil nu gennemgå dem. Man kan integrere en konstant ganget på en funktion ved blot at ignorere konstanten, integrere funktionen og gange konstanten på bagefter.

Lad os tage et eksempel. Betragt funktionen

Konstanten i dette tilfælde er 2.

Vi kan altså integrere f(x) ved at ignorere 2-tallet og blot fokusere på x2-leddet og gange 2 på bagefter. Stamfunktionen for f(x) bliver derfor

En anden regel er at man integrere en funktion ved at integrere hvert led for sig. Hvis vi fx har funktionen

Funktionen g(x) kan integreres ved at integrere hvert led for sig selv. Stamfunktionen G(x) bliver derfor

Det ubestemte integrale

Når man skal bestemme stamfunktionen benytter man i matematikken et specielt tegn, nemlig tegnet  . Man skriver fx

For at vise at funktionen  har stamfunktionen  . Hvis funktionen f(x) har stamfunktionen F(x) skriver vi

Symbolet kaldes også det ubestemte integrale.

Lad os kigge på et par eksempler.

Vi vil gerne betemme det ubestemte integrale af funktionen f(x) = sin(x). Vi opskriver derfor

Dermed bliver det ubestemte integrale sin(x) + k. Det ubestemte integrale er i bund og grund et andet udtryk for stamfunktionen. Lad os nu betragte funktionen

Vi vil gerne bestemme det ubestemte integrale af f(x). Vi opskriver derfor

Dermed har vi bestemt det ubestemte integrale.

 

 

Flere og flere studerende får højere karakterer i matematik ved at bruge Danmarks førende matematik træner. Kom igang lynhurtigt og se markante resultater!
Opret bruger nu

 

 

Det bestemte integrale

Når der findes et ubestemt integrale, så findes der selvfølgelig også et bestemt integrale. Forskellen på det ubestemte integrale og det bestemte er, at det bestemte integrale giver et tal og ikke bare en ny funktion.

Hvis vi skal bestemme det bestemte integral af funktionen f(x) skriver vi

Tallene a og b kaldes grænseværdierne. Det bestemte integrale udregnes på følgende måde

Hvor F angiver stamfunktionen til f.

Man skal derfor bestemme stamfunktionen og dernæst indsætte grænseværdierne i stamfunktionen for at bestemme det bestemte integrale.

En vigtigt detalje når man skal finde stamfunktionen når man bestemmer det bestemte integrale, er at man ikke skal tilføje en konstant. Lad os kigge på et eksempel. Betragt funktionen

 

Bestem det bestemte integrale af

Først indsætter vi funktionen

Dernæst skal vi bestemme stamfunktionen. Vi kan integrere den led for led. Ved integrering fås

Dernæst skal vi indsætte grænserne 0 og 3 på x’s plads.. Vi opksriver derfor

Ved at udregne paranteserne fås

Dermed bliver det bestemte integrale 24. Oftest skriver man blot

 

Det bestemte integral og areal under kurven

En af de vigtige egenskaber ved det bestemte integrale er at det angiver arealet under kurven fra nedre grænseværdi til den øvre grænseværdi. Hvis vi fx har en funktion f(x) så er det bestemte integrale

Arealet under kurven for funktionen f(x) fra den nedre grænse a til den øvre grænse b. Dette er skitseret på figuren forneden

Lad os kigge på et eksempel. Betragt funktionen

Vi vil gerne bestemme arealet under kurvet fra 0 til 2. Vi opskriver derfor udtrykket for det bestemte integrale med grænserne 0 og 2.

Forneden har vi skitseret grafen for f og skraveret arealet under kurven fra 0 til 2.

Vi kan bestemme arealet ved at løse det bestemte integrale foroven. Stamfunktionen for f(x) bliver

Vi indsætter nu grænserne

Dermed bliver arealet under kurven 6,667.

 

Beregning af areal med Ti-Nspire

Vi kan gøre det hele lettere for os selv ved at benytte et digitalt værktøj til at bestemme de bestemte integraler. Vi vil nu gennemregne et eksempel i TI-Nspire. Start derfor med at åbne et nyt dokument i Ti-Nspire og vælg tilføj beregninger.

Vi vil gerne bestemme dette bestemte integrale

I Nspire vælger vi ude i venstre side vælger vi ”Differential- og integralregning” og dernæst ”Integral”.

Udfyld nu integralet der fremkommer med grænserne og funktionen.

Og tryk dernæst på enter. Du har nu bestemt det bestemt integral til at være 24.

 

 

Lad os hjælpe dig til topkarakter i matematik! Kom igang idag og opret en gratis profil med Facebook på under 5 sekunderOpret med Facebook

 

 

Areal mellem to funktioner.

Vi kan også benytte det bestemte integral til at bestemme arealet af et område to funktioner afgrænser. Dette er ofte en opgave du vil støde på integralregningen.

Betragt funktionerne

Vi ønsker nu at bestemme arealet af det område de to funktioner afgrænser. Til at starte med tegner vi de to funktioner i samme koordinatsystem.

Vi skal bestemme arealet af det lille område M der er angivet på figuren. Som tidligere nævnt kan vi benytte det bestemte integrale til at bestemme arealet af M.

Vi skal først bestemme grænserne. Grænserne er skæringspunkterne for de to grafer. Vi kan benytte solve-funktionen i TI-nspire til at bestemme grænserne. I Nspire skriver vi ”solve(-x^2+5*x+3=2*x+3,x)

Vi har altså bestemt grænserne til at være a = 0 og  b = 3.

Vi kan bestemme arealet af M ved at bestemme det bestemte integral af f(x) med grænserne 0 og 3, og dernæst trække det bestemte integrale af g(x) med de samme grænser fra. Vi kan derfor opskrive

Vi indsætter nu funktionerne

Vi kan nu bestemme arealet ved at benytte Nspire.

Vi vælger igen differential- og integralregning” og dernæst ”Integral” ude i venstre side. Før integraltegnet skriver du ”f:=” og dernæst udfylder du integralet med f(x) og dernæst gør du det samme igen med et nyt integrale som du definerer ”g:=” og indsætter funktionen g(x).

Vi kan nu bestemme arealet af M ved blot at trække g fra f. I Nspire skriver vi derfor blot ”f-g” og dermed bestemmer vi arealet til at være 4,5.

Dermed har vi bestemt arealet til at være 48,9898. Hvilket igen afviger en lille smule fra det forrige resultat, men dette skyldes igen afrunding.

 

Lær alt hvad du skal kunne om vektorer i rummet, Komplet guide til topkarakter i matematik, beregning af indekstal

Share:

177 thoughts on “Bliv god til integral regning lynhurtig – Fantastisk guide til dig, som vil lære ALT på under 2 minutter!

  1. Hi there, I found your site by way of Google while looking
    for a related matter, your web site came up, it appears good.
    I’ve bookmarked it in my google bookmarks.
    Hi there, just changed into alert to your weblog via Google, and found that it is truly informative.
    I’m gonna be careful for brussels. I will appreciate for those who continue this in future.
    Lots of people will likely be benefited from your writing.

    Cheers! http://www.deinformedvoters.org/hydroxychloroquine

  2. May I simply say what a relief to find someone who actually understands what they
    are talking about over the internet. You
    definitely realize how to bring a problem to light and make it
    important. More people need to check this out and understand this side of the story.
    I was surprised you aren’t more popular because
    you most certainly possess the gift.

  3. No matter if some one searches for his essential thing, so he/she needs to be available that in detail, so
    that thing is maintained over here.

  4. Hello, I think your blog might be having browser compatibility issues.

    When I look at your blog in Firefox, it looks fine but when opening in Internet Explorer,
    it has some overlapping. I just wanted to give you a quick heads up!
    Other then that, terrific blog!

  5. A fascinating discussion is worth comment. I do think that you should write more about this subject, it might not be a taboo subject
    but typically people do not talk about such issues.

    To the next! All the best!!

  6. You really make it seem so easy along with your presentation however I in finding
    this matter to be really something that I think I might never understand.
    It seems too complex and extremely huge for me.
    I am looking forward for your subsequent submit, I will
    attempt to get the hang of it! https://buszcentrum.com/priligy.htm

  7. Heya i’m for the first time here. I came across this board and I in finding It truly useful & it helped
    me out much. I’m hoping to provide one thing back and help others like
    you aided me.

  8. I was wondering if you ever thought of changing the layout of your blog?
    Its very well written; I love what youve got to say.
    But maybe you could a little more in the way of content so people
    could connect with it better. Youve got an awful lot of
    text for only having one or 2 images. Maybe you could space it out better?

  9. When I originally commented I clicked the “Notify me when new comments are added” checkbox and now each
    time a comment is added I get several emails with the
    same comment. Is there any way you can remove me from that service?
    Thank you!

  10. My family always say that I am wasting my time here at web, but I know I am getting knowledge all the time by reading thes
    fastidious articles.

  11. Hi! This is my first visit to your blog! We are a collection of
    volunteers and starting a new initiative in a community in the
    same niche. Your blog provided us valuable information to work on. You have done a marvellous job!

  12. Woah! I’m really enjoying the template/theme of
    this blog. It’s simple, yet effective. A lot of times it’s very
    difficult to get that “perfect balance” between usability
    and visual appeal. I must say that you’ve done a great job with
    this. In addition, the blog loads very quick for me on Chrome.
    Exceptional Blog!

  13. Hey! I know this is kind of off topic but I was wondering if you knew where
    I could get a captcha plugin for my comment form? I’m using the same blog platform as yours and I’m having difficulty finding one?
    Thanks a lot!

  14. If some one wants to be updated with newest
    technologies therefore he must be go to see this web page and be up
    to date daily.

  15. My partner and I stumbled over here different page and thought I should check things out.
    I like what I see so i am just following you. Look forward to exploring your web page
    yet again.

  16. Someone necessarily assist to make seriously
    articles I’d state. This is the first time I frequented your web page and up to now?

    I surprised with the analysis you made to make this particular put up incredible.

    Magnificent process!

  17. Usually I don’t learn article on blogs, but I wish to say
    that this write-up very forced me to take a look
    at and do it! Your writing taste has been surprised me.
    Thanks, quite nice post.

  18. I absolutely love your site.. Pleasant colors & theme.
    Did you create this web site yourself? Please reply back as I’m attempting
    to create my own website and would love to learn where you got this from or what the theme is called.

    Kudos!

  19. I am curious to find out what blog system you happen to be using?
    I’m experiencing some small security issues with
    my latest blog and I would like to find something more risk-free.
    Do you have any recommendations? quest bars http://j.mp/3C2tkMR quest bars

  20. I think everything published was very logical. But, what about this?
    suppose you were to create a awesome headline? I mean, I don’t wish
    to tell you how to run your blog, however what if you added a headline
    that makes people desire more? I mean Bliv god til integral regning
    lynhurtig – Fantastisk guide til dig, som vil lære ALT på under 2 minutter!
    – Matematik hjælp is a little vanilla.
    You might look at Yahoo’s front page and watch how they create article headlines to get people to open the links.
    You might add a video or a pic or two to grab readers interested about
    everything’ve got to say. In my opinion, it would make your posts a little bit more interesting.
    scoliosis surgery https://coub.com/stories/962966-scoliosis-surgery scoliosis surgery

  21. Very nice post. I just stumbled upon your blog and wished to say that I
    have truly enjoyed surfing around your blog posts.

    After all I’ll be subscribing to your feed and I hope you write again soon! ps4 https://bit.ly/3z5HwTp ps4 games

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.