Trigonometriske funktioner for retvinklede trekanter
I dette afsnit vil bevise de trigonometriske funktioner for retvinklede trekanter. Vi starter med at betragte figuren forneden.
Figuren viser den retvinklede trekant, hvor vinkel C er ret. Det gælder for en retvinklet trekant hvor C er ret at
Det er disse tre udtryk foroven vi gerne vil bevise. Lad os nu gå i gang.
Vil du have bedre karakter i matematik? Vi hjælper dig – kom igang helt gratis!
Vi starter med at tegne en enhedscirkel og indsætte vores retvinklede trekant i den. Vinklen A kommer til at ligge i punktet (0,0). Der hvor trekanten skærer enhedscirklen tegner vi en lodret streg ned til x-aksen (den blå linje).
Vi har nu en ny retvinklet trekant som er ensvinklet med den store trekant. Dette er tilfældet da de begge indeholder vinklen a og en ret vinkel.
Da de to trekanter er ensvinklede er forholdet mellem deres sider det samme og der findes derfor en skaleringsfaktor. Men inden vi finder skaleringsfaktoren starter vi med at kigge på den lille trekant.
Da den er indtegnet i enhedscirklen må dens hypotenuse have længde 1 og dens to kateter har sidelængderne cos(A) og sin(A).
Da vi nu har fået styr på den lille trekant er vi nu klar til at bestemme skaleringsfaktoren. Vi starter med at kigge på hypotenuserne i de to trekanter.
Der må altså findes et tal der ganget på længden 1 giver længden c (hypotenusen i den store trekant).
Vi vælger at kalde det tal for k. Vi kan derfor opskrive
Få en højere karakter til din matematik eksamen – Prøv Danmarks førende matematik træner gratis!
Vi isolerer nu skaleringsfaktoren ved at dele med en på begge sider og dermed fås
Vi har altså nu bestemt at skaleringsfaktoren er lig c.
Vi ved at siden b i den store trekant må være cos(A) ganget med vores skaleringsfaktor, og vi kan derfor opskrive følgende
Vi kan nu isolere cos(A) i udtrykket ved at dele med c på begge sider.
Ved at gøre dette fås
Vi har nu bevist den første relation. Vi ved også at siden a i den store trekant må være sin(A) ganget med skaleringsfaktoren.
Vi opskriver derfor
Vi kan nu isolere sin(A) i udtrykket ved at dele med c på begge sider.
Ved at gøre dette fås
Vi har nu bevist den anden relation. Nu mangler vi blot den sidste. Tangens er defineret ved at man deler sinus til vinklen med cosinus til vinklen
Vi indsætter nu de to relationer vi har fundet frem til
Ved at gøre brug af brøkregneregler kan ovenstående udtryk forkortes til
Vi har nu bevist den tredje og sidste relation og nu er vi færdige.
Vi håber du har fået gavn af vores artikel og herunder har vi samlet endnu flere artikler, som kan hjælpe dig på vej til at blive bedre til matematik 🙂
Forældre dropper Folkeskolens lektiehjælp – vi har løsningen!
Share: