Polynomier
Langt de fleste elever er igennem deres skoletid stødt på polynomier, men dette skal ikke forhindre os i at lave en kort gennemgang af hvad polynomier egentlig er.
Et polynomium er egentlig bare en matematisk funktion, som følger en bestemt forskrift. Vi vil starte med at opskrive udtrykket for et såkaldt n’tegradspolynomium. Et n’tegradspolynomium er givet ved udtrykket
Dette udtryk kan måske virke en smule intimiderende, men der en mening med galskaben.
Danmarks førende matematiktræner! Prøv gratis idag og se resultater!
Tallet n angiver graden af vores polynomium. Er n=5, så vil vores polynomium være et femtegradspolynomium og have formen
Hvor a5, a4, a3, a2, a1 og a0 er konstanter. Har konstanterne en værdi kunne vores femtegradspolynomium have formen
Forneden ses grafen for ovenstående polynomie.
Læg mærke til, at det er den højeste potens, som der angiver graden af polynomiet, derved kunne et femtegradspolynomium blot have formen
Lad os nu betragte det simpleste polynomium vi kan skrive, nemlig et førstegradspolynomium
Den opmærksomme læser vil her kunne se at, der blot er tale om en lineær funktion der har hældningen a1 og som skærer andenaksen i y = a0.
Et eksempel på et førstegradspolynomie kunne for eksempel være
Forneden ses grafen for førstegradspolynomiet og her ses det tydeligt at et førstegradspolynomie blot er en ret linje
En af de mest populære polynomier som du helt sikkert har stiftet bekendskab til er et andengradspolynomie. Et andengradspolynomium har formen
Et eksempel på et andengradspolynomium kunne være
Forneden ses grafen for andengradspolynomiet
Gør som alle andre studerende – opret en bruger med Facebook på under 30 sek. Anmelderrost af både lærere og elever! Prøv gratis!
Som du sikkert allerede ved så kaldes grafen for et andengradspolynomium for en parabel. En parabel består af et toppunkt og to grene. I de fleste matematikbøger er andengradspolynomium oftest skrevet på formen
Hvis a > 0, så vender parablens grene og parablens åbning opad, denne parabel kaldes oftest en glad parabel. Når man har en glad parabel, så er parablens toppunkt et minimumspunkt.
Er a < 0, så vender parablens grene nedad. Denne parabel kaldes ofte en sur parabel. Når man har med en sur parabel at gøre, så er parablens toppunkt et maksimumspunkt.
Hvordan kan man så bestemme en parabels toppunkt?
Har man et andengradspolynomium med formen
er toppunktet hos funktionens tilhørende parabel givet ved
Hvor d angiver polynomiets diskriminant som er givet ved
Vi kan desuden bestemme parablens nulpunkter, dvs. f(x) = 0.
Dette gøres ved at løse andengradsligningen
Her er løsningen givet ved
Læg mærke til at hvis diskriminanten d > 0, så har parablen to nulpunkter. Er d = 0, så har den et nulpunkt, og er d < 0, så har parablen ingen nulpunkter.
En tommelfingerregel er at et andengradspolynomium kan have to løsninger, et tredjegradspolynomium kan have op til tre løsninger osv.
Dette var en lille gennemgang af polynomier, med det mest essentielle. Nu er der vist ikke andet for end at gå i gang med at regne en masse opgaver 🙂
Jeg giver dig samtidigt nogle gode links til andre spænende artikler
Lær alt hvad du skal kunne om bionomialfordelingen – Lær er mestre Geogebra til din matematik eksamen – Bliv god til matematik, her er der tips og tricks
Share: