Areal af en vilkårlig trekant
Når man har med retvinklede trekanter at gøre er det let at bestemme arealet.
Arealet af en retvinklet trekant er givet ved
Hvor angiver trekantens højde og angiver trekantens grundlinje. Men hvad gør man hvis man ikke længere har med retvinklede trekanter at gøre?
Har man en vilkårlig trekant er dens areal givet ved
Vi vil nu bevise ovenstående udtryk.
Vil du have matematik hjælp og bedre karakterer? Kom igang med at træn på Danmarks førende matematiktræner!
Vi starter med at betragte en vilkårlig trekant
Vi indtegner nu trekantens højde ud fra .
Vi ved nu at trekantens højde er givet ved
Det ovenstående udtryk kan vi dog ikke benytte til noget, da vi jo ikke kender højden h. Vi kan se at vi ved at indtegne højden h i den vilkårlige trekant har fået den retvinklede trekant ACD.
Kom igang nu og se markante resultater i matematik. Prøv Danmarks bedste matematiktræner helt gratis!
Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete delt med hypotenusen. Vi kan derfor opskrive udtrykket
Vi isolerer nu h i udtrykket
Udtrykket for h indsættes nu i udtrykket for arealet
Vi har nu bevist udtrykket for arealet af en vilkårlig trekant. Men hvad hvis en af trekantens vinkler er stump?
Vi starter med at optegne en vilkårlig trekant hvor vinkel c er stump.
Dernæst indtegner vi igen trekantens højde, h, ud fra A. Vi forlænger desuden siden a således at det punkt, hvor højden rammer a kalder vi D .
Vi har nu to retvinklede trekanter, nemlig ADC og ABD. Vi behøver nu kun at betragte trekant ADC .
I trekant ADC er højden h givet ved
Vil du prøve kræfter med endnu flere matematikopgaver og matematikbeviser? Så kom igang på under 30 sek!
Desuden ved vi at i trekant ADC er vinkel C lig 180 – C (hvor vinkel C er den originale vinkel C i den vilkårlige trekant).
Hvis vi kigger på figuren forneden ser vi, at for både sin(A) og sin(180 – A) får vi den samme sinusværdi, da de går lige langt på y-aksen.
Derfor må sin(C) = sin(180 – C)
For den vilkårlige trekant med den stumpe vinkel bliver med grundlinjen a og højden b x sin(C) bliver arealet derfor
Vi har nu bevist udtrykket for arealet af en vilkårlig trekant når en af vinklerne er stump.
Du kan læse endnu flere artikler og se endnu flere Youtube matematikvideoer ved at følge linksne herunder.
Rigtig god fornøjelse 🙂
Brug GeoGebra til at beregne sidelængder, vinkler og arealer – Lær at beregne arealet i en vilkårlig trekant – Bliv bedre til Ensvinklede trekanter
Share: