Optimering i differentialregning
Som de fleste naturvidenskabelige fag, kan matematik ofte have et ry for at være tørt, kedeligt og rigtig nørdet. Udover dette, så er eleverne enten vilde med matematik eller de hader det.
Hvis du har beskæftiget dig med differentialregning, så har du helt sikkert stødt på begrebet optimering. Optimering er en af de vigtigste metoder indenfor differentialregningen. Det viser sig nemlig, som du sikkert allerede ved, at man ved hjælp af differentialregning kan optimere løsninger til et utal af problemstillinger.
Vil du blive bedre til optimering og differentialregning? Prøv Danmarks førende matematiktræner og få topkarakter!
Eksempel på optimering af en kasses overfladeareal
Lad os starte med at gennemgå et eksempel. Det eksempel vi vil gennemgå en af de mest brugte indenfor optimering, nemlig optimering af en kasses overfladeareal.
Vi starter med at forestille os at et firma skal producere en kasse med en kvadratisk bund. Kassen har ikke noget låg. Firmaet stiller det krav til kassen at den skal have et rumfang på 1 liter, hvilket svarer til 1000 cm3.
Det første vi skridt er at tegne en skitse af kassen, på den måde kan man let få et overblik på hvad det hele går ud på.
Det vores mission er at bestemme sidelængden af kassens bund, x, således at overfladearealet bliver mindst muligt og dermed bliver kassen billigst muligt for firmaet af producere den.
Da vi skal forsøge at optimere overfladearealet, så er det første vi skal gøre at opskrive et udtryk for overfladearealet. Vi ved at overfladearealet består af 5 dele, nemlig kassens bund og kassens 4 sider. Vi skal nu bestemme arealerne for de 5 dele. Arealet af kassens bund kan opskrives som
Kassens 4 sider er identiske og deres areal kan bestemmes ved
Vi kan nu udtrykke kassens samlede overfladeareal ved hjælp x og h blot ved at lægge arealerne sammen
Læg mærke til at vi gangede arealet af kassens side med 4, fordi vi jo har 4 sider. Vi indsætter nu de fundne udtryk og fra nu af betegner vi overfladearealet for O, vi får dermed
Vi har nu opskrevet udtrykket for overfladearealet, men vi er ikke helt klar til at optimere. Vi har stadig en variabel, nemlig h, som vi gerne vil af med. Vi vil nemlig gerne kun have udtrykt overfladearealet ved hjælp af x. Så hvad kan vi gøre?
Vi ved at firmaet har stillet det krav at rumfanget af kassen skal være 1000 cm3. Vi ved at variablen h indgår sammen med x i udtrykket for rumfanget. Lad os derfor prøve at opskrive dette. Rumfanget af kassen er givet ved
Vi ved at rumfanget skal. Være 1000 cm3. Vi kan derfor sætte udtrykket foroven lig 1000. Ved at gøre dette fås
Vi skal nu har udtrykt h ved hjælp af x, med andre ord, skal vi have h til at stå alene i udtrykket foroven. Dette kan vi gøre ved at dele med x2 på begge sider at lighedstegnet. Ved at gøre dette fås
Vi har nu udtrykt h ved hjælp af x, og det fundne udtryk kan vi nu indsætte på h’s plads i vores udtryk for overfladearealet. Ved at gøre dette fås
Vi kan nu reducere ovenstående udtryk og ved at gøre dette får vi
Vi har nu fundet frem til et udtryk for overfladearealet kun udtrykt ved sidelængden af kassens bund x.
Træn endnu flere optimerings opgaver. Vi har topkarakter på Trustpilot! Prøv Danmarks førende matematiktræner gratis!
Nu har vi fundet et funktionsudtryk for overfladearealet og vi kan nu optimere det. Det vi gerne vil er at finde funktionens minimum.
Så lad os starte med at kigge på grafen for funktionen. Herunder ses grafen for funktionen O.
Vi kan tydeligt se at grafen har et minimum og det er netop ved den x-værdi, funktionen har sin mindste værdi.
Det næste skridt er nu at bestemme den x-værdi. For at gøre dette skal vi differentiere funktionen. Når man differentierer en funktion, får man en ny funktion, nemlig den afledte.
Den afledte funktion giver os tangenthældningen til samtlige steder for grafen, og vi ved at en funktion har minimum eller maksimum det sted hvor man har en vandret tangent, dvs. at man har tangentligningen 0. Vi skal derfor differentiere funktionen og dernæst sætte den lig 0.
Vi starter med at genopfriske funktionen
Ved at differentiere funktionen fås den afledte
Vi skal nu sætte den afledte funktion lig 0
Vi har nu en ligning der skal løses og den løses lettest ved brug af et digitalt værktøj.
Vi løser ligningen og får
x = 12,599
Dermed kan vi konkludere at kassen får det mindst mulige overfladeareal, når x = 12,599.
Kom igang med din træning allerede idag. Du vil se markante resultater. Vi er Danmarks førende matematiktræner og få topkarakter!
Dette var blot et eksempel på en opgave så kan finde sted indenfor optimering, men man kan som udgangspunkt altid følge samme opskrift. Så lad os lige opskrive en klassisk opskrift for en optimeringsopgave trin-for-trin.
– Det første trin er at man skal opskrive en forskrift for funktion. Ligesom vi gjorde foroven med overfladearealet.
– Dernæst skal man sørge for at den forskrift kun afhænger af en variabel. I vores tilfælde skulle vi udtrykke h via x.
– Dernæst skal man differentiere funktionen og sætte den lig 0.
Når man har gjort dette får man en ligning der skal løses. Benyt et digitalt værktøj til dette. Når du har løst ligningen og bestemt en værdi for variablen, så er du færdig. Det er slet ikke så svært.
Hvis du har lyst til at prøve kræfter med nogle flere optimerings opgaver kan du finde massere af opgaver på Danmarks førende matematiktræner.
Få succes og hjælp til matematik – Læs hvordan vi hjalp Anders som gik fra 02 til 7 – Bliv god til statistik her og få hjælp
Share: