Som opfølgning på vores succesrige indlæg omkring gennemgang af diverse matematik eksamensopgaver, så vil vi her gennemgå en aktuel eksamensopgave i eksponentiel funktioner.
Vi kan konstatere at en stor del af de opgaver, som der fejles mest i på Danmarks førende matematiktræner, blandt andet består afeksponentielle funktioner. Vi tænkte derfor, at vi hurtigst muligt måtte vise et eksempel. På den måde kan vi forhåbentlig hjælpe så mange som overhovedet muligt med at forstå og lære fremgangsmåden ved en aktuel opgave. Det er vigtigt at nævne, at den måde du får den bedste matematik hjælp er ved at træne gamle eksamensopgaver. Jo flere eksamensopgaver du træner desto bedre er dit udgangspunkt for at blive god til matematik og samtidigt score topkarakter til din eksamen!
Det nedenstående opgave eksempel er taget fra gymnasie niveau a, dvs. stx a.
Den hjælp du får i form af tips til denne opgave, er naturligvis også den hjælp du får, når du træner online.
Får du de korrekte resultater på nedenstående opgave? Svar gerne med dit resultat som kommentar til dette blogindlæg. Så ser vi om du har ret – vi skal nok sørge for at besvare din kommentar 🙂
Vil du være bedst til eksponentielle funktioner? Scor topkarakter med Danmarks førende matematiktræner! Kom igang helt gratis og se merkante resultater
Blade på bøgetræer – eksempel og gennemgang af en matematikopgave i eksponentielle funktioner på matematik a, b og c niveau.
Fra kalenderuge 11 til kalenderuge 25 kan antallet af blade på bøgetræer med en højde mellem 5 og 10 meter i en skov med god tilnærmelse beskrives ved en model af typen:
y = b · ax
hvor x er antallet af uger efter uge 11 og y er det gennemsnitlige antal af blade på hvert bøgetræ mellem 5 og 10 meter.
I tabellen nedenfor er illustreret en række værdier for denne sammenhæng.
Bestem tallet a og tallet b ud fra tabellens data
Du skal bestemme tallet a og tallet b.
Du får oplyst, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen
y = b · ax
hvor x er antallet af uger efter uge 11 og y er det gennemsnitlige antal af blade på hvert bøgetræ mellem 5 og 10 meter.
Udviklingen er formlen for en eksponentiel funktion.
I tabellen ovenfor oplyses nogle værdier for sammenhængen mellem ugeantal og det gennemsnitlige antal blade på hvert bøgetræ.
Dette datasæt kan du bruge til at bestemme tallet a.
Da det er en eksponentiel funktion, der med god tilnærmelse beskriver sammenhængen, og du har fået givet et datasæt for sammenhængen (tabellen), skal du bruge eksponentiel regression til at bestemme tallet a.
Du kan lave en eksponentiel regression på din lommeregner (her refereres til TI-Nspire CAS).
Under Lister og Regneark kan du opskrive to lister. Først opskriver du alle de opgivne værdier for antal uger efter uge 11 i en kolonne (nedad) – det, som x skal angive i funktionen.
Husk her ikke at bruge værdierne 11, 13, 17, 23 og 25 i kolonnen for x-værdierne, da denne kolonne betegner antal uger efter uge 11 og ikke ugenummeret.
Den første x-værdi (11) vil derved være 0 → Da uge 11 er 0 uger efter uge 11.
Den anden x-værdi (13) vil derved være 2 → Da uge 13 er 2 uger efter uge 11.
Ved siden af denne kolonne opskriver du alle de tilhørende opgivne værdier for antal blade på en anden kolonne (nedad). Denne skal være lige til højre for listen med x-værdierne. Disse er tallene, som y skal angive i funktionen. I feltet over det grå felt skriver du ”xlist” eller eksempelvis ”uger” ved x værdierne, og ”ylist” eller eksempelvis ”blade” ved y-værdierne. Skriv ikke kun ”x” og ”y”, da dette kan give problemer senere.
Udfør nu en eksponentiel regression med udgangspunkt i de to lister til at angive hhv. x- og y-værdier (dette gøres ved at trykke Statistik → Statistiske beregninger → Eksponentiel regression). Til højre for din indtastede data i regnearket optræder nu værdierne for a og b.
Husk at TI-Nspires lommeregner kan finde på at bytte rundt på hvad der er a og b.
Resultatet for tallet a (det tal, der er opløftet i x) er dit svar.
Hvor mange blade er der i gennemsnit på hvert træ i uge 19?
Du skal beregne hvor mange blade der i gennemsnit er på hvert træ i uge 19.
Du får oplyst, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives ved funktionen
y = b · ax
hvor x er antallet af uger efter uge 11 og y er det gennemsnitlige antal af blade på hvert bøgetræ mellem 5 og 10 meter.
Udviklingen er formlen for en eksponentiel funktion.
Du har netop bestemt værdierne for a og b i den forrige opgave.
Du har fået oplyst en x-værdi (en uge nummer) på 19.
Husk at da x angiver antal uger efter uge 11 skal du indsætte værdien 19 – 11 = 8 på x’s plads i funktionen. Dvs. du beregner f(19-11).
Nu er f(x) (antal blade) den eneste ubekendte i det ovenstående udtryk (og den du gerne vil beregne).
Beregn derfor f(x), når 19-11 er indsat på x’s plads (dvs. du beregner f(19-11)) i funktionsforskriften:
y = b · ax
– Husk også at indsætte dine værdier for a og b.
Du har nu beregnet hvor mange blade der i gennemsnit er på hvert træ i uge 19.
Hvilken betydning har tallet a og b?
Du skal afgøre, hvad tallene a og b fortæller om udviklingen.
y = b · ax
hvor x er antallet af uger efter uge 11 og y er det gennemsnitlige antal af blade på hvert bøgetræ mellem 5 og 10 meter.
Udviklingen er formlen for en eksponentiel funktion.
I en sådan funktion er tallet a fremskrivningsfaktoren pr. x-enhed for den eksponentielle udvikling. Den fortæller noget om, hvor mange procent y vokser eller aftager med for hvert x. Hvis y vokser med r procent pr x har vi nemlig at:
a = 1 + r
hvilket er det samme som at sige at:
r = a -1
Generelt kan det siges, at hvis
a > 1, så er udviklingen voksende
0 < a < 1, så er udviklingen aftagende
Konstanten b kaldes begyndelsesværdien. Det er den værdi, vi starter med. Altså er det et konstantled, der angiver y-koordinaten til grafens (linjens) skæringspunkt med y-aksen.
Gør dig nu klart, hvad a og b i konkret fortæller om udviklingen i det gennemsnitslige antal blade på bøgetræerne i perioden fra uge 11 til uge 25 i kalenderåret.
Kom igang allerede idag og hæv karakteren til din matematik eksamen. Vi er anmelderrost af både lærere og elever. Kom lynhurtigt igang og skab resultater.
Bestem fordoblingskonstanten for udviklingen
Du skal bestemme fordoblingskonstanten for f(x).
Du har fået oplyst, at f(x) er på formen
y = b · ax
hvor x er antallet af uger efter uge 11 og y er det gennemsnitlige antal af blade på hvert bøgetræ mellem 5 og 10 meter.
Dette er en eksponentiel funktion.
Når man har at gøre med en voksende eksponentiel funktion, så vil den vokse med en fast procent pr enhed på x-aksen. Efter et vist antal x-enheder vil den være vokset med 100% – dvs. den er fordoblet. Det stykke vi skal gå ud ad x-aksen, før funktionsværdien er fordoblet, kalder vi fordoblingskonstanten. Denne betegnes med T2.
For at bestemme fordoblingskonstanten skal du bruge formlen for fordoblingskonstant for en eksponentiel funktion. Denne lyder:
T2 = log(2) / log(a)
Du har i en af de forrige opgaver bestemt tallet a. Tallet a indsættes nu i formlen.
Det tastes således på din lommeregner:
log(2)/log(a)
Du har nu bestemt fordoblingskonstanten.
Skriv gerne dine svar i kommentarfeltet 🙂
Se flere gode artikler herunder:
Bliv bedre til potensfunktion – gennemgang af opgave, sådan får du topkarakter i matematik, for lav karakter – 2000 unge afvist!
Share: